Was ist die Domäne und der Bereich der Funktion: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Antworten:

Die Domain ist # (- oo, oo) # und der Bereich #0, 1/2#

Erläuterung:

Gegeben:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Beachten Sie das für jeden realen Wert von # x #, der Nenner # 1 + x ^ 4 # ist nicht Null.

Daher #f (x) # ist für jeden realen Wert von gut definiert # x # und seine Domäne ist # (- oo, oo) #.

Um den Bereich zu bestimmen, lassen Sie:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Multipliziere beide Enden mit # 1 + x ^ 4 # bekommen:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Subtrahieren # x ^ 2 # von beiden Seiten können wir dies wie folgt umschreiben:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Dies hat nur echte Lösungen, wenn seine Diskriminanz nicht negativ ist. Putten # a = y #, # b = -1 # und # c = y #die Diskriminante #Delta# ist gegeben durch:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Wir benötigen also:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Daher:

# y ^ 2 <= 1/4 #

So # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Beachten Sie außerdem, dass #f (x)> = 0 # für alle realen Werte von # x #.

Daher # 0 <= y <= 1/2 #

Also der Bereich von #f (x) # ist #0, 1/2#