Lim_ (x -> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Antworten:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Erläuterung:

wir suchen:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Wenn wir eine Grenze auswerten, betrachten wir das Verhalten der Funktion "nahe" des Punktes, nicht notwendigerweise das Verhalten der Funktion "an" dem fraglichen Punkt, also als #x rarr 0 #An keinem Punkt müssen wir uns überlegen, was passiert # x = 0 #So erhalten wir das triviale Ergebnis:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Zur Verdeutlichung ein Diagramm der Funktion zur Veranschaulichung des Verhaltens # x = 0 #

Graph {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Es sollte klargestellt werden, dass die Funktion # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # ist undefiniert um # x = 0 #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Die Definitionen der Grenze einer Funktion, die ich verwende, sind äquivalent zu:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # wenn und nur für jeden positiv #Epsilon#gibt es ein positives #Delta# so dass für jeden # x #, ob # 0 <abs (x-a) <Delta # dann #abs (f (x) - L) <epsilon #

Wegen der Bedeutung von "#abs (f (x) - L) <epsilon #", das erfordert das für alle # x # mit # 0 <abs (x-a) <Delta #, #f (x) # ist definiert.

Das heißt für das Erforderliche #Delta#, alle # (a-Delta, a + Delta) # außer möglicherweise #ein#liegt in der Domäne von # f #.

Das alles bringt uns:

#lim_ (xrarra) f (x) # existiert nur wenn # f # ist in einem offenen Intervall definiert #ein#außer vielleicht bei #ein#.

(# f # muss in einer gelöschten offenen Umgebung von #ein#)

Deshalb, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # ist nicht vorhanden.

Ein fast triviales Beispiel

#f (x) = 1 # zum # x # ein irrationaler Real (undefiniert für Rationals)

#lim_ (xrarr0) f (x) # ist nicht vorhanden.