Wie man a ^ 8 + b ^ 8 einkalkuliert?

Antworten:

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # zum #b in RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # zum #b = | b | e ^ (itheta) in CC #

Mit dem fundamentalen Satz der Algebra können wir den gegebenen Ausdruck als faktorisieren

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #

wo jeder # alpha_k # ist eine Wurzel von # x ^ 8 + b ^ 8 #.

Lösen für # alpha_k #, wir bekommen

# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #

# => x ^ 8 = -b ^ 8 #

# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #

# = | b | (-1) ^ (1/8) # (vorausgesetzt #b in RR #)

# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #

# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k in ZZ #

Wie #k in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # Konten aller eindeutigen Werte dieser Form erhalten wir unsere Faktorisierung als, z #b in RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #

Für ein allgemeineres #b in CC #dann vermutet #b = | b | e ^ (itheta) #können wir ähnliche Berechnungen durchgehen, um zu finden

# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (Theta / pi + (2k + 1) / 8)) #

Bedeutung

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #

Leider übersehen wir einige Kleinigkeiten. Die Antwort von sente ist korrekt.

Angenommen, #b ne 0 # und # a, b in RR # wir haben

# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # dann

# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # dann

# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # sind die # k = 0,1, cdots, 7 # Wurzeln oder Faktoren.

Definieren

#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #

und dann

# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # mit reellen Koeffizienten.