Wie kann ich diese Differentialgleichung lösen?

Antworten:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Erläuterung:

Das ist ein trennbare Differentialgleichung, was einfach bedeutet, dass es möglich ist, die # x # Begriffe & # y # Terme auf gegenüberliegenden Seiten der Gleichung. Also, das machen wir zuerst:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Nun wollen wir bekommen dy auf der Seite mit den ys und dx auf der Seite mit den xs. Wir müssen ein bisschen neu arrangieren:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Nun integrieren wir beide Seiten:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Lassen Sie uns jedes Integral in Reihe tun:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Zuerst teilen wir dies durch die Additions- / Subtraktionsregel in zwei separate Integrale auf:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Diese sehen irgendwie nervig aus. Wir können ihnen jedoch ein bisschen Makeover geben, damit sie schöner aussehen (und viel einfacher zu lösen sind):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Beide sind jetzt einfach # u #-substitutionelle Integrale. Wenn du eingestellt hast #u = -x # und # -3x # jeweils erhalten Sie die Antwort als:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

#Wenn wir den negativen Exponenten positiv machen, erhalten wir:

#int (ye ^ y) dy #

Dafür müssen wir die Integration nach Teilen verwenden. Die Formel lautet:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Wir werden einstellen #u = y #, und #dv = e ^ y dy #. Der Grund ist, dass wir eine leichte wollen # du # für die endgültige Integration, und auch weil # e ^ y # ist sehr einfach zu integrieren.

So:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Jetzt stecken wir einfach los:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Alles wieder reinlegen:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Negative Exponenten loswerden:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

Und das ist eine ziemlich anständige endgültige Antwort. Wenn du lösen wolltest # y #Sie könnten und Sie würden am Ende mit

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Beachten Sie, dass wir keine haben # + C # auf der linken Seite dieser Gleichung. Der Grund dafür ist, dass selbst wenn wir es formulieren würden, wir es letztendlich von der RHS subtrahieren würden und eine beliebige Konstante minus eine beliebige Konstante immer noch eine beliebige Konstante ist. Daher für diese Probleme, solange Sie Ihre haben # + C # Auf jeder Seite der Gleichung wird es Ihnen gut gehen.

Hoffe das hat geholfen:)