Wenn f (x) = xe ^ (5x + 4) und g (x) = cos2x ist, was ist f '(g (x))?

Antworten:

# = e ^ (5cos 2x + 4) (1 + 5cos 2x) #

Erläuterung:

Die Absicht dieser Frage bestand möglicherweise darin, die Verwendung der Kettenregel für beide zu fördern #f (x) # und #g (x) # - Warum also unter Kettenregel abgelegt wird - das verlangt die Notation nicht.

Um das zu betonen, betrachten wir die Definition

#f '(u) = (f (u + h) - f (u)) / (h) #

oder

#f '(u (x)) = (f (u (x) + h) - f (u (x))) / (h) #

Das Hauptmittel unterscheidet sich von den Klammern

Das heißt hier in Liebnitz-Notation: # (d (f (x))) / (d (g (x)) #

Im Gegensatz dazu die vollständige Kettenregelbeschreibung:

# (f circ g) '(x) = f' (g (x)) cdot g '(x) #

In diesem Fall also #u = u (x) = cos 2x # und so erfordert die Notation einfach die Ableitung von #f (u) # zu # u #und dann mit #x zu cos 2x #dh #cos 2x # als x in die resultierende Ableitung eingefügt

Also hier

# f '(cos 2x) qquad "let" u = cos 2x ##

# = f '(u) #

durch die Produktregel

# = (u) 'e ^ (5u + 4) + u (e ^ (5u + 4))' #

# = e ^ (5u + 4) + u * 5e ^ (5u + 4) #

# = e ^ (5u + 4) (1 + 5u) #

So

#f '(g (x)) = #f '(cos 2x) #

# = e ^ (5cos 2x + 4) (1 + 5cos 2x) #

Zusamenfassend

#f '(g (x)) ne (f circ g)' (x) #

Antworten:

#f '(g (x)) = e ^ (5cos (2x) +4) (1 + 5cos2x) #

Erläuterung:

#f (x) = xe ^ (5x + 4) #

Finden #f '(g (x)) #Zuerst müssen wir finden #f '(x) # dann müssen wir ersetzen # x # durch #g (x) #

#f '(x) = e ^ (5x + 4) + 5xe ^ (5x + 4) #

#f '(x) = e ^ (5x + 4) (1 + 5x) #

Lassen Sie uns ersetzen # x # durch #f (x) #

#f '(g (x)) = e ^ (5cos (2x) +4) (1 + 5cos2x) #