Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Antworten:

Sattelpunkt am Ursprung.

Erläuterung:

Wir haben:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Und so leiten wir die partiellen Ableitungen ab. Denken Sie bei partieller Differenzierung daran, dass wir die betreffende Variable differenzieren und die anderen Variablen als konstant betrachten. Und so:

# (partielles f) / (partielles x) = 2xy-y ^ 2 # und # (partielles f) / (partielles y) = x ^ 2-2yx #

An einem Extrempunkt oder Sattelpunkt haben wir:

# (teilweises f) / (teilweises x) = 0 # und # (partielles f) / (teilweise y) = 0 # gleichzeitig:

eine gleichzeitige Lösung von:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Daher gibt es am Ursprung nur einen kritischen Punkt #(0,0)#. Um die Art des kritischen Punkts festzustellen, sind Analysten der mehrfach variablen Taylor-Serie und die folgenden Testergebnisse erforderlich:

# Delta = (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2) (partiell ^ 2f) / (partiell y ^ 2) - {(partiell ^ 2f) / (partiell x partiell y)} ^ 2 <0 => # Sattelpunkt

Also berechnen wir die zweiten partiellen Ableitungen:

# (teilweise ^ 2f) / (teilweise x ^ 2) = 2y #;# (teilweise ^ 2f) / (teilweise y ^ 2) = -2x # und # (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y) = 2x-2y #

Und so wann # x = 0, y = 0 # wir bekommen:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Dies bedeutet, dass der Standardsatteltest inklusive ist und weitere Analysen erforderlich sind. (Dies würde typischerweise bedeuten, die Anzeichen der Funktion über verschiedene Schichten hinweg zu betrachten oder den dritten partiellen Ableitungstest zu betrachten, der über den Rahmen dieser Frage hinausgeht!).

Wir können uns auch die 3D-Darstellung anschauen und schnell feststellen, dass der kritische Punkt einem Sattelpunkt zu entsprechen scheint: