Verwenden Sie das erste Prinzip, um zu unterscheiden? y = sqrt (sinx)

Antworten:

Schritt eins ist das Umschreiben der Funktion als rationalen Exponenten #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Erläuterung:

Nachdem Sie Ihren Ausdruck in diesem Formular erstellt haben, können Sie ihn mithilfe der Kettenregel unterscheiden:

In Ihrem Fall: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Dann, # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # Welches ist deine Antwort?

Antworten:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Erläuterung:

Mit der Limitdefinition der Ableitung haben wir:

# f '(x) = lim_ (harr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Also für die gegebene Funktion wo #f (x) = sqrt (sinx) #, wir haben:

# f '(x) = lim_ (harr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (harr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (harr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Dann können wir die trigonometrische Identität verwenden:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Geben uns:

# f '(x) = lim_ (harr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (harr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (harr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (harr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Dann verwenden wir zwei ganz normale Kalkülgrenzen:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, und #lim_ (Theta -> 0) (Costheta-1) / Theta = 0 #, und #

Und wir können jetzt die Grenzen auswerten:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #