Frage # 90cf3 + Beispiel - Infinitesimalrechnung 2025

Antworten:

Um die Wurzeln von Gleichungen wie zu finden # e ^ x = x ^ 3 #Ich empfehle die Verwendung einer rekursiven numerischen Analysemethode namens Newton-Methode

Erläuterung:

Lass uns ein Beispiel machen.

Um die Newton-Methode zu verwenden, schreiben Sie die Gleichung in das Formular #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Berechnen #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Da die Methode erfordert, dass wir die gleiche Berechnung viele Male ausführen, empfehle ich, bis sie konvergiert, eine Excel-Tabelle zu verwenden. Der Rest meiner Antwort wird Anweisungen dazu enthalten.

Geben Sie eine gute Schätzung für x in Zelle A1 ein. Für diese Gleichung werde ich 2 eingeben.

Geben Sie Folgendes in Zelle A2 ein:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Bitte beachten Sie, dass es sich bei der obigen Sprache um die Excel-Arbeitsblattsprache handelt

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Kopieren Sie den Inhalt von Zelle A2 in A3 durch A10. Nach nur 3 oder 4 Rekursionen sehen Sie, dass die Methode konvergiert hat

#x = 1.857184 #

Antworten:

Wir können den Intermediate Value Theorem verwenden, um zu sehen, dass jedes Paar mindestens einen Schnittpunkt hat.

Erläuterung:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # ist auf der gesamten reellen Linie ununterbrochen.

Beim # x = 0 #, wir haben #f (0) = 1 #.

Beim # x = -1 #, wir haben #f (-1) = 1 / e-1 # was negativ ist.

# f # ist ständig an #-1,0#, so gibt es mindestens eine # c # im #(-1,0)# mit #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # ist auf der gesamten reellen Linie ununterbrochen.

Beim # x = 0 #, wir haben #g (0) = 1 #.

Beim # x = 2 #, wir haben #g (2) = e ^ 2-8 # was negativ ist.

(Beachten Sie, dass # e ^ 2 ~~ 2,7 ^ 2 <7,3 <8 #.)

#G# ist ständig an #0,2#, so gibt es mindestens eine # c # im #(0,2)# mit #g (c) = 0 #.

Frage Nr. A01f9 + Beispiel

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Frage # c67a6 + Beispiel

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Frage # 53a2b + Beispiel

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