Frage # 53a2b + Beispiel

Antworten:

Diese Abstandsdefinition ist bei Änderung des Trägheitsrahmens unveränderlich und hat daher eine physikalische Bedeutung.

Erläuterung:

Der Minkowski-Raum ist als ein 4-dimensionaler Raum mit Parameterkoordinaten aufgebaut # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, wo wir normalerweise sagen # x_0 = ct #. Im Zentrum der speziellen Relativitätstheorie stehen die Lorentz-Transformationen, also Transformationen von einem Inertialsystem in einen anderen, die die Lichtgeschwindigkeit unveränderlich machen. Ich werde nicht auf die vollständige Herleitung der Lorentz-Transformationen eingehen. Wenn Sie möchten, dass ich das erkläre, fragen Sie einfach, und ich werde auf mehr Details eingehen.

Was wichtig ist, ist folgendes. Wenn wir uns den euklidischen Raum anschauen (den Raum, in dem wir die gewöhnliche Definition der Länge haben, an die wir gewöhnt sind) # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), wir haben bestimmte Transformationen; räumliche Rotationen, Übersetzungen und Spiegelungen. Wenn wir den Abstand zwischen zwei Punkten in verschiedenen Referenzrahmen berechnen, die durch diese Transformationen miteinander verbunden sind, ist der Abstand gleich. Dies bedeutet, dass die euklidische Entfernung bei diesen Transformationen unveränderlich ist.

Nun erweitern wir diesen Begriff auf die 4-dimensionale Raumzeit. Vor der Einsteins-Theorie der speziellen Relativitätstheorie haben wir Inertialsysteme durch Galilei-Transformationen verbunden, die gerade eine räumliche Koordinate ersetzten # x_i # durch # x_i-v_it # zum #iin {1,2,3} # woher # v_i # ist die Geschwindigkeit des Beobachters im #ich# Richtung relativ zum ursprünglichen Rahmen. Diese Transformation hat nicht die Lichtgeschwindigkeit unverändert gelassen, aber die durch das Linienelement hervorgerufene Entfernung # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #Einfach deshalb, weil die Zeitkoordinate nicht verändert wird und die Zeit absolut ist.

Die Galilei-Transformation beschreibt jedoch nicht genau die Transformation eines Trägheitsrahmens in einen anderen, da wir wissen, dass die Lichtgeschwindigkeit unter den richtigen Koordinatentransformationen unveränderlich ist. Deshalb haben wir die Lorentz-Transformation eingeführt. Die euklidische Entfernung, die wie oben beschrieben auf die 4-dim-Raumzeit ausgedehnt wurde, ist unter dieser Lorentz-Transformation nicht invariant, jedoch ist die durch induzierte Entfernung # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # ist, was wir die richtige Entfernung nennen. Auch wenn diese euklidische Entfernung, in der der Satz von Pythagoras gilt, eine vollkommen anständige mathematische Struktur auf dem 4-Dim-Raum ist, hat sie keine physikalische Bedeutung, da sie vom Beobachter abhängig ist.

Die richtige Entfernung hängt nicht vom Betrachter ab, daher können wir ihr eine physikalische Bedeutung geben. Dies geschieht durch Verbinden der Bogenlänge einer Weltlinie durch den Minkowski-Raum unter Verwendung dieser Entfernung mit der verstrichenen Zeit, die ein Objekt beobachtet, das sich auf dieser Weltlinie bewegt. Wenn wir die Zeit fixiert lassen, gilt der Satz von Pythagoras immer noch in den Raumkoordinaten.

EDIT / WEITERE ERKLÄRUNG:

Der ursprüngliche Fragesteller dieser Frage forderte mich auf, etwas näher zu erläutern, er schrieb: "Danke. Aber können Sie bitte die letzten beiden Paras ein wenig mehr erklären. In einem Buch, das ich sah, hatten sie es # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Erklären Sie bitte "Im Wesentlichen haben wir hier eine zweidimensionale Version von dem, was ich oben beschrieben habe. Wir haben eine Beschreibung der Raumzeit mit einer Zeit- und einer Raumdimension. Darin definieren wir eine Entfernung oder genauer eine Norm (eine Entfernung von) der Ursprung zu einem Punkt) # s # mit der Formel # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # woher # x # ist die räumliche Koordinate und # t # die zeitliche Koordinate.

Was ich oben gemacht habe, war eine dreidimensionale Version davon, aber was noch wichtiger war, ich habe es verwendet # (ds) ^ 2 # anstatt # s ^ 2 # (Ich habe Klammern hinzugefügt, um das Quadrat zu klären). Ohne auf Details der Differentialgeometrie zu viel einzugehen, wenn wir eine Linie haben, die zwei Punkte im Raum verbindet, # ds # ist die Länge eines winzigen Stücks der Linie, ein sogenanntes Linienelement. Über eine 2D-Version von dem, was ich oben geschrieben habe, haben wir # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, was die Länge dieses winzigen Stückes mit der winzigen Änderung der Koordinaten in Beziehung setzt. So berechnen Sie die Entfernung vom Ursprung zu einem Punkt # x_0 = a, x_1 = b # In der Raumzeit berechnen wir die Länge einer geraden Linie vom Ursprung bis zu diesem Punkt. Diese Linie ist gegeben # x_0 = a / bx_1 # woher # x_1in 0, b #, Wir notieren das # dx_0 = a / bdx_1 #, so # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, so # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, die wir integrieren können, geben # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Deshalb # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2 - x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # im # (t, x) # Koordinaten.

Das, was ich oben geschrieben habe, gibt also das, was Sie in dem Buch gelesen haben. Mit der Version der Linienelemente können Sie jedoch die Länge einer Linie berechnen, nicht nur der Geraden. Die Geschichte von der Lorentz-Transformation hält immer noch diese Norm # s # ist unter Änderung des Bezugsrahmens unveränderlich, während # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # ist nicht.

Die Tatsache, dass der Satz von Pythagoras nicht gilt, ist nicht so überraschend. Der Satz von Pythagoras gilt für die euklidische Geometrie. Dies bedeutet, dass der Raum, in dem Sie arbeiten, flach ist. Ein Beispiel für Räume, die nicht flach sind, ist die Oberfläche einer Kugel. Wenn Sie den Abstand zwischen zwei Punkten auf dieser Fläche ermitteln möchten, nehmen Sie die Länge des kürzesten Pfads über diese Fläche, die diese beiden Punkte verbindet. Wenn Sie auf dieser Fläche ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, das sich im euklidischen Raum stark von einem Dreieck unterscheidet, da die Linien nicht gerade sind, gilt der Satz von Pythagoras im Allgemeinen nicht.

Ein weiteres wichtiges Merkmal der euklidischen Geometrie ist, dass, wenn Sie ein Koordinatensystem in diesen Raum platzieren, jede Koordinate dieselbe Rolle spielt. Sie können die Achsen drehen und mit derselben Geometrie enden. In der Minkowski-Geometrie haben nicht alle Koordinaten die gleiche Rolle, da die Zeitachsen in den Gleichungen ein Minuszeichen haben und die anderen nicht. Wenn dieses Minuszeichen nicht vorhanden wäre, hätten Zeit und Raum eine ähnliche Rolle in der Raumzeit oder zumindest in der Geometrie. Aber wir wissen, dass Raum und Zeit nicht gleich sind.