Was ist der beste Weg, um sqrt (13) ohne einen Taschenrechner zu finden?

Antworten:

Ich würde die Newtonsche Methode vorschlagen, obwohl ich nicht bereit bin zu behaupten, dass dies einfacher ist als raten und prüfen und dann die Vermutung anpassen.

Erläuterung:

Die Newton-Methode ist eine iterative Annäherungsmethode. (Es funktioniert wegen des Kalküls, aber diese Frage wird in der Algebra gepostet, also lassen wir das in Ruhe.)

Machen Sie eine erste Annäherung. Sagen Sie in Ihrem Beispiel # x_1 = 3 #

Die nächste Annäherung lautet: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Mit anderen Worten, teilen Sie sich #13# durch die aktuelle Näherung und den Durchschnitt mit Ihrer letzten Näherung.

Wissen # x_n #, wir finden #x_ (n + 1) # durch:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Also bekommen wir: # x_1 = 3 #

Finden # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

Der Durchschnitt unserer aktuellen Näherung, #3# und der Quotient #4.33# ist #3.67#

So # x_2 = 3.67 #

Finden # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

Der Durchschnitt unserer aktuellen Näherung, #3.67# und der Quotient #3.54# ist #3.61#

So # x_3 = 3.61 #

Ja, es war langwierig, Berechnungen durchzuführen.

Antworten:

Es gibt eine (vielleicht nicht bekannte) Methode, um die Quadratwurzel einer Zahl zu finden, die ich im Folgenden zu zeigen versucht habe.

Erläuterung:

Beginnen Sie so, als würden Sie eine lange Division einrichten (beachten Sie jedoch das Fehlen eines Divisors). Die Zahl ist in Blöcke mit 2 Ziffern unterteilt, wobei nach dem Dezimalpunkt so viele Nullenpaare vorhanden sind, wie Sie schreiben möchten. Der Dezimalpunkt sollte direkt über dem Dezimalpunkt der Zahl stehen, für die Sie versuchen, die Quadratwurzel zu finden (ich habe meine verloren).

Entscheiden Sie sich für die größte Ziffer, deren Quadrat nicht größer als das erste Ziffernpaar des Wertes ist, mit dem Sie arbeiten, und geben Sie sie wie unten angegeben ein

Multiplizieren Sie die Zahl über der Linie mit der Zahl links von der vertikalen Linie und subtrahieren Sie dieses Produkt vom darüber liegenden Wert.

Kopieren Sie das nächste Ziffernpaar als Suffix zum vorherigen Rest.

Verdopple den Wert über der Zeile und erlaube eine Suffix-Ziffer (in diesem Fall wird 3 zwischen 60 und 69; noch zu ermitteln).

Bestimmen Sie die größte Ziffer, die links als Suffix-Ziffer verwendet wird und dann zum Multiplizieren des resultierenden Werts nicht größer ist als der Arbeitswert (in diesem Fall nicht größer als 400).

Multiplizieren, subtrahieren, das nächste Ziffernpaar herunterfahren.

Verdoppeln Sie den Wert von oben und schreiben Sie mit Platz für eine Suffix-Ziffer links vom Arbeitsbereich.

Setzen Sie den Vorgang wie folgt fort:

Bitte; Wenn jemand eine einfachere Erklärung für den Ablauf dieses Prozesses geben kann, tun Sie dies bitte.

Antworten:

Anstatt einen langen Kommentar an Jim zu schreiben, ist hier eine weitere Antwort.

Finden #sqrt (n) #, iteriere deine Annäherungen mit:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Erläuterung:

Normalerweise verwende ich dies mit "unsachgemäßen" Brüchen, um eine Folge von Näherungen abzuleiten. Ich stoppe, wenn ich denke, dass ich genügend signifikante Ziffern habe, und dann die resultierenden ganzen Zahlen lange dividiere.

Wenn ich nur die Quadratwurzel auf 4 signifikante Stellen setzen möchte, beginne ich mit einer angemessenen 2-stelligen Annäherung und führe ein oder zwei Schritte aus.

Ich versuche die Quadrate von zu merken #2# Ziffern auch. Also im Fall von #13# Ich sollte mich daran erinnern #36^2 = 1296# ist ziemlich nah an #1300#, so #36# ist eine gute Annäherung an #sqrt (1300) #.

Die nächste Annäherung wäre #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Daher #sqrt (13) ~ = 3.6056 #