Wie kann man diese in Maclaurin-Serie erweitern? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Antworten:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n.) +1) ^ 2 #

Visual: Schauen Sie sich dieses Diagramm an

Erläuterung:

Wir können dieses Integral eindeutig nicht bewerten, da es eine der von uns erlernten regulären Integrationstechniken verwendet. Da es sich jedoch um ein bestimmtes Integral handelt, können wir eine MacLaurin-Serie verwenden und das tun, was als Term-Term-Integration bezeichnet wird.

Wir müssen die MacLaurin-Serie finden. Da wir die n-te Ableitung dieser Funktion nicht finden wollen, müssen wir sie in eine MacLaurin-Serie integrieren, die wir bereits kennen.

Erstens mögen wir es nicht #Log#; wir wollen das a # ln #. Um dies zu tun, können wir einfach die Änderung der Basisformel verwenden:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Also haben wir:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Warum machen wir das? Nun, das merkt man jetzt # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Warum ist das so besonders? Gut, # 1 / (1-x) # ist eine unserer häufig verwendeten MacLaurin-Serien:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…für alle # x # auf #(-1, 1#

Wir können diese Beziehung also zu unserem Vorteil nutzen und ersetzen #ln (1-t) # mit # int-1 / (1-t) dt #, was uns erlaubt, das zu ersetzen # ln # Begriff mit einer MacLaurin-Serie. Wenn Sie dies zusammenstellen, erhalten Sie:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Bewertung des Integrals:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Das Abbrechen des # t # Begriff im Nenner:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Und jetzt nehmen wir das definitive Integral, mit dem wir das Problem begonnen haben:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Hinweis: Beobachten Sie, wie wir uns jetzt keine Sorgen machen müssen, in diesem Problem durch Null zu teilen. Dies ist ein Problem, das wir im ursprünglichen Integrand aufgrund des Problems gehabt hätten # t # Begriff im Nenner. Da dies im vorherigen Schritt abgebrochen wurde, zeigt es, dass die Diskontinuität entfernbar ist, was für uns gut funktioniert.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # bewertet von #0# zu # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Stellen Sie sicher, dass Sie erkennen, dass diese Serie nur für das Intervall geeignet ist #(1, 1#, da die oben verwendete MacLaurin-Serie nur in diesem Intervall konvergiert. Sehen Sie sich dieses Diagramm an, um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, wie es aussieht.

Hoffe das hat geholfen:)