Beweisen Sie, dass sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (Iarctan (b / a)) = a + bi?

Antworten:

In Erklärung

Erläuterung:

Auf einer normalen Koordinatenebene haben wir Koordinaten wie (1,2) und (3,4) und ähnliches. Wir können diese Koordinaten in Ausdrücken von Radien und Winkeln erneut ausdrücken. Wenn wir also den Punkt (a, b) haben, gehen wir Einheiten nach rechts, b Einheiten nach oben und #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # als Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt (a, b). ich werde rufen #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Also haben wir # re ^ arctan (b / a) #

Um diesen Beweis abzuschließen, erinnern wir uns an eine Formel.

# e ^ (itheta) = cos (Theta) + isin (Theta) #

Die Funktion der Bogenbräune gibt mir einen Winkel, der auch Theta ist.

Wir haben also die folgende Gleichung:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Jetzt zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck.

Das Arctan von (b / a) sagt mir, dass b die gegenüberliegende Seite und a die angrenzende Seite ist. Wenn ich also den cos von arctan (b / a) haben möchte, verwenden wir den Satz des Pythagoras, um die Hypotenuse zu finden. Die Hypotenuse ist #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Also die cos (arctan (b / a)) = neben Hypotenuse = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Das Beste daran ist, dass das gleiche Prinzip auch für Sinus gilt. Also sin (arctan (b / a)) = gegenüber Hypotenuse = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nun können wir unsere Antwort noch einmal so ausdrücken: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Aber erinnere dich #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # so jetzt haben wir: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Die Rs stornieren und Sie haben folgendes übrig: # a + bi #

Deshalb, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #