S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Damit wird 'r' zur Subjektformel.?

Antworten:

Dies ist generell nicht möglich …

Erläuterung:

Gegeben:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealerweise möchten wir eine Formel ableiten wie:

#r = "irgendein Ausdruck in" s, n, a #

Dies wird nicht für alle Werte von möglich sein # n #. Zum Beispiel wann # n = 1 # wir haben:

#s = (a (r ^ Farbe (blau) (1) -1)) / (r-1) = a #

Dann # r # kann jeden Wert außer #1#.

Beachten Sie auch, dass # a = 0 # dann # s = 0 # und wieder # r # kann jeden Wert außer #1#.

Lassen Sie uns sehen, wie weit wir im Allgemeinen kommen können:

Zuerst multiplizieren Sie beide Seiten der angegebenen Gleichung mit # (r-1) # bekommen:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Vervielfältigung beider Seiten wird zu:

# sr-s = ar ^ n-a #

Dann wird die linke Seite von beiden Seiten abgezogen und wir erhalten:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Angenommen, #a! = 0 #können wir dies durch teilen #ein# um die monische Polynomgleichung zu erhalten:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Beachten Sie das für alle Werte von #wie# und # n # Eine Wurzel dieses Polynoms ist # r = 1 #, aber das ist ein ausgeschlossener Wert.

Versuchen wir herauszufinden # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (weiß) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#Farbe (weiß) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Also durch teilen # (r-1) # wir bekommen:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Die Lösungen davon werden für verschiedene Werte von sehr unterschiedliche Formen annehmen # n #. Zu der Zeit #n> = 6 #ist es im Allgemeinen nicht durch Radikale lösbar.