Wie findest du die Ableitung von y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Antworten:

# dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Erläuterung:

Verwenden Sie die Produktregel:

Ob # y = f (x) g (x) #, dann

# dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x) f (x) #

So, #f (x) = sin ^ 2x #

#g (x) = cos ^ 2x #

Verwenden Sie die Kettenregel, um beide Derivate zu finden:

Erinnere dich daran # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#g '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

Somit, # dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Da gibt es die Identität # 2sinxcosx = sin2x #, aber diese Identität ist eher verwirrend als hilfreich, wenn Antworten vereinfacht werden.

Antworten:

Es gibt etwas, das die Antwort viel einfacher zu finden macht.

Erläuterung:

Sie können sich auch daran erinnern #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, daher ein neuer Ausdruck der Funktion.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2x) / 4 # Das ist viel einfacher abzuleiten (1 Quadrat statt 2).

Die Ableitung von # u ^ n # ist # n * u'u ^ (n-1) # und die Ableitung von #sin (2x) # ist # 2cos (2x) #

So #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

Der Vorteil dieser trigonometrischen Identitäten ist für Physiker, sie können jede Information in der Welle finden, die diese Funktion darstellt. Sie sind auch sehr nützlich, wenn Sie Grundelemente trigonometrischer Funktionen suchen müssen.