Was ist die Domäne und der Bereich von f (x) = (x + 9) / (x-3)?

Antworten:

Domain: # mathbb {R} setminus {3} #

Angebot: # mathbb {R} #

Erläuterung:

Domain

Die Domäne einer Funktion ist die Menge von Punkten, in denen die Funktion definiert ist. Wie Sie wahrscheinlich wissen, sind bei numerischen Funktionen einige Operationen nicht zulässig - nämlich die Division durch #0#, Logarithmen nicht positiver Zahlen und sogar Wurzeln negativer Zahlen.

In Ihrem Fall haben Sie keine Logarithmen oder Wurzeln, so dass Sie sich nur um den Nenner kümmern müssen. Beim imponieren #x - 3 ne 0 #finden Sie die Lösung #x ne 3 #. Die Domäne ist also die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme von #3#, die Sie als schreiben können # mathbb {R} setminus {3} # oder in der Intervallform # (- infty, 3) cup (3, infty) #

Angebot

Der Bereich ist ein Intervall, dessen Extremwerte die niedrigsten und höchstmöglichen Werte sind, die von der Funktion erreicht werden. In diesem Fall stellen wir bereits fest, dass unsere Funktion einen Punkt der Nichtdefinition hat, der zu einer vertikalen Asymptote führt. Bei Annäherung an vertikale Asymptoten divergieren die Funktionen in Richtung # -infty # oder # infty #. Lass uns studieren, was passiert # x = 3 #: wenn wir die linke Grenze berücksichtigen, haben wir

#lim_ {x bis 3 ^ frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ = - infty #

Wenn ja # x # Ansätze #3#ist aber noch weniger als #3#, # x-3 # etwas weniger als null sein (denken Sie zum Beispiel an # x # Werte annehmen wie #2.9, 2.99, 2.999,…#

Nach derselben Logik

#lim_ {x bis 3 ^ +} frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ +} = infty #

Da nähert sich die Funktion an beide # -infty # und # infty #ist der Bereich # (- infty, infty) #, was natürlich den ganzen reellen Zahlen entspricht # mathbb {R} #.

Antworten:

#x in (-oo, 3) uu (3, oo) #

#y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

Erläuterung:

Der Nenner von f) x) kann nicht Null sein, da dies f (x) undefiniert machen würde. Durch Gleichsetzen des Nenners mit Null und Lösen ergibt sich der Wert, den x nicht sein kann.

# "lösen" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (rot) "ausgeschlossener Wert" #

# "Domäne" x in (-oo, 3) uu (3, oo) #

# "lass" y = (x + 9) / (x-3) #

# "Neu anordnen und x zum Thema machen" #

#y (x-3) = x + 9 #

# xy-3y = x + 9 #

# xy-x = 9 + 3y #

#x (y-1) = 9 + 3y #

# x = (9 + 3y) / (y-1) #

# "lösen" y-1 = 0rArry = 1larrcolor (rot) "ausgeschlossener Wert" #

# "range" y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

Graph {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}