Wie beweist man Arcusin x + Arcccos x = pi / 2?

Antworten:

wie gezeigt

Erläuterung:

Lassen

# arcsinx = theta #

dann

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Antworten:

Die Aussage ist wahr, wenn sich die inversen Triggerfunktionen auf die Hauptwerte beziehen, dies erfordert jedoch mehr Aufmerksamkeit als die andere Antwort.

Wenn die inversen Triggerfunktionen als mehrwertig betrachtet werden, erhalten wir zum Beispiel ein differenzierteres Ergebnis

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} Quad # aber #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Wir müssen abziehen, um zu bekommen # pi / 2 #.

Erläuterung:

Dieser ist schwieriger als es aussieht. Die andere Antwort ist nicht der richtige Respekt.

Eine allgemeine Konvention ist die Verwendung des Kleinbuchstaben #arccos (x) # und #arcsin (x) # als mehrwertige Ausdrücke, die jeweils alle Werte angeben, deren Cosinus oder Sinus einen bestimmten Wert haben # x #.

Die Bedeutung dieser Summe ist wirklich jede mögliche Kombination, und diese würde nicht immer geben # pi / 2. # Sie geben nicht einmal immer einen der Koterminalwinkel an # pi / 2 + 2pi k quad # ganze Zahl # k #, wie wir jetzt zeigen werden.

Sehen wir uns zuerst an, wie es mit den mehrwertigen inversen Triggerfunktionen funktioniert. Erinnern Sie sich im Allgemeinen # cos x = cos a # hat Lösungen # x = pm a + 2pi k quad # ganze Zahl # k #.

# c = arccos x # bedeutet wirklich

#x = cos c #

#s = arcsin x # bedeutet wirklich

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # spielt die Rolle eines realen Parameters, von dem abweicht #-1# zu #1#. Wir wollen lösen für # y #finden Sie alle möglichen Werte von # y # welche haben eine #x, s # und # c # das macht diese simultanen Gleichungen #x = cos c, x = sin s, y = s + c # wahr.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Wir verwenden unsere obige allgemeine Lösung zur Gleichheit von Kosinus.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # ganze Zahl # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

So bekommen wir das viel nebulösere Ergebnis, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Es ist zulässig, das Schild aufzulegen # k. #)

Konzentrieren wir uns nun auf die Hauptwerte, die ich mit Großbuchstaben schreibe:

Show #text {Arc} Text {sin} (x) + Text {Arc} Text {cos} (x) = pi / 2 #

Die Aussage trifft in der Tat für die wie üblich definierten Hauptwerte zu.

Die Summe wird nur definiert (bis wir uns ziemlich in komplexe Zahlen hineinversetzen) # -1 le x le 1 # weil die gültigen Sinus- und Cosinuswerte in diesem Bereich liegen.

Wir werden auf jede Seite der Entsprechung schauen

# text {Arc} Text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - Text {Arc} Text {sin} (x) #

Wir nehmen den Cosinus von beiden Seiten.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - Text {Arc} Text {Sin} (x)) = Sin (Text {Arc} Text {Sin} (X)) = x #

Ohne sich um Zeichen oder Grundwerte zu sorgen, sind wir uns sicher

#cos (text {Arc} Text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - Text {Arc} Text {sin} (x)) #

Der knifflige Teil, der Respekt verdient, ist der nächste Schritt:

#text {Arc} Text {cos} (x) = pi / 2 - Text {Arc} Text {Sin} (X) Quad # NOCH NICHT SICHER

Wir müssen vorsichtig vorgehen. Nehmen wir das Positive und das Negative # x # separat.

Zuerst # 0 le x le 1 #. Das heißt, die Hauptwerte der beiden inversen Triggerfunktionen liegen im ersten Quadranten dazwischen #0# und # pi / 2. # Auf den ersten Quadranten beschränkt, implizieren gleiche Kosinien gleiche Winkel, so schließen wir daraus #x ge 0, #

#text {Arc} Text {cos} (x) = pi / 2 - Text {Arc} Text {Sin} (X) Quad #

Jetzt # -1 le x <0. # Der Hauptwert des umgekehrten Vorzeichens liegt im vierten Quadranten und für #x <0 # Wir definieren normalerweise den Hauptwert im Bereich

# - pi / 2 le text {Arc} Text {Sünde} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - Text {Arc} Text {Sünde} (x)> Pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

Der Hauptwert für den negativen inversen Cosinus ist der zweite Quadrant.

# pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Wir haben also im zweiten Quadranten zwei Winkel, deren Kosinus gleich ist, und wir können daraus schließen, dass die Winkel gleich sind. Zum #x <0 #, #text {Arc} Text {cos} (x) = pi / 2 - Text {Arc} Text {Sin} (X) Quad #

So oder so, # text {Arc} Text {sin} (x) + Text {Arc} Text {cos} (x) = pi / 2 Quadrate #