Was ist int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Antworten:

#= 1/4#

Erläuterung:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1/4 ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Antworten:

#1/4#

Erläuterung:

Kann dies auf verschiedene Arten tun, hier sind zwei davon. Die erste besteht darin, eine Substitution zu verwenden:

#color (rot) ("Methode 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Lassen #u = ln (x) impliziert du = (dx) / x #

Umwandlung der Grenzen:

#u = ln (x) impliziert u: 0 rarr 1 #

Integral wird:

# 1 / 2int_0 ^ 1 du du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 / 1/2 = 1/4 #

Dies ist der einfachere Weg, aber Sie können möglicherweise nicht immer eine Ersetzung vornehmen. Eine Alternative ist die Integration von Teilen.

#color (rot) ("Methode 2") #

Verwenden Sie partielle Integration:

Für Funktionen #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) impliziert u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) impliziert v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Die Gruppierung ähnliche Begriffe:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#ohre int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Wir arbeiten jedoch mit einem bestimmten Integral, also setzen wir Grenzen und entfernen die Konstante:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1/4 In (e) In (e) - 1/4 In (1) In (1) #

#ln (e) = 1, In (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #