Was bedeutet die Grenze einer Funktion?

Antworten:

Die Aussage #lim_ (x a) f (x) = L # bedeutet: als # x # kommt näher an #ein#, #f (x) # kommt näher an # L #.

Erläuterung:

Die genaue Definition lautet:

Für jede reelle Zahl #ε>0#gibt es eine andere reelle Zahl #δ>0# so dass wenn # 0 <| x-a |<>, dann # | f (x) -L |<>.

Betrachten Sie die Funktion #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Wenn wir das Diagramm zeichnen, sieht es so aus:

Wir können nicht sagen, was der Wert ist # x = 1 #, aber es sieht so aus #f (x) # Ansätze #2# wie # x # Ansätze #1#.

Versuchen wir das zu zeigen #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Die Frage ist, wie wir davon kommen # 0 <| x-1 |<> zu # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Wir müssen mit einem Wert von beginnen #ε# und finden Sie dann einen entsprechenden Wert für #δ#.

Lass uns beginnen mit

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Die andere Bedingung ist

# | x-1 | <δ #

Die Definition passt genau dann #δ = ε#.

Wir haben das gerade für jeden gezeigt #ε#, da ist ein #δ# damit # | f (x) - 2 |<> wann # 0 <| x - 1 |<>.

Das haben wir also gezeigt

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #