Wie lösen Sie eine ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Also haben wir:

# 0 = a ^ 2-Quadrat (3) a + 1 = a ^ 2-Quadrat (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Wenn Sie 1/4 von beiden Seiten abziehen, erhalten Sie:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Dies hat keine echten Zahlenlösungen, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ ist.

Wenn Sie komplexe Lösungen wünschen, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

Hinzufügen #sqrt (3/2) # zu beiden Seiten bekommen wir

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Ich würde die Formel anwenden, um quadratische Gleichungen zu lösen (tatsächlich ist dies eine quadratische Gleichung in "a"):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Wie Sie sehen, hat die Gleichung keine echte Lösung, da sie eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl hat (#sqrt (-1) #).

• Wenn Sie also mit reellen Zahlen arbeiten, lautet die Antwort, dass es keine gibt #a in RR # was macht # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Wenn Sie jedoch mit komplexen Zahlen arbeiten, gibt es zwei Lösungen:

  # a_1 = (sqrt3 + i) / 2 # und # a_2 = (sqrt3-i) / 2 #.