Der Rest, wenn x ^ (2011) durch x ^ 2 -3x + 2 geteilt wird, ist?

Antworten:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Erläuterung:

Eine halb einfache Möglichkeit, dies zu erkennen, besteht darin, den Ausdruck mit Long Division zu teilen. Schreiben Sie den Dividend (unter dem Divisionssymbol) mit Nullen als

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

Wir werden nicht alle Begriffe benötigen, um das Muster zu erkennen.

Wenn Sie mit dem Teilen beginnen, werden Sie feststellen, dass der erste Term einen Koeffizienten von 1 hat, der zweite einen Koeffizienten von 3, der dritte einen Koeffizienten von 7, dann 15, dann 31 usw.

Diese Zahlen haben die Form # 2 ^ m - 1 #.

Der Rest wird angezeigt, nachdem Sie sich durch das Ganze, bestehend aus dem, geteilt haben # 2011 ^ (th) # und # 2012 ^ (th) # Begriffe.

Der erste Term im Quotienten folgt dem gleichen Muster mit #2^2011-1# als seinen Koeffizienten. Der letzte Koeffizient ist eins kleiner als #2^2011-1# -- es ist #2^2011 - 2#, oder #2(2^2010 - 1)#.

Das gleiche Muster gilt für jede Teilung des Formulars

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, woher #m> = 3 #.

Sie können das auch bemerken # x ^ 2011 - 1 # ist ein Vielfaches von #x - 1 #, was einen Faktor im Nenner aufheben würde.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

woher #Q (x) # ist ein #2009# Grad Polynom und # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Jetzt wissen wir

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Lösen für # a, b # wir erhalten

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # und dann

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # Das ist der Rest.