Wie löse ich 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Antworten:

Wir können diese Frage grafisch lösen.

Erläuterung:

Die gegebene Gleichung # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # kann als neu geschrieben werden

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Nehmen Sie diese beiden Funktionen nun als separate Funktionen auf

#f (x) = 2e ^ (x) # und #g (x) = 7-2x # und zeichnen ihre graphische Darstellung; ihr Schnittpunkt wird sein Lösung auf die gegebene Gleichung # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Dies ist unten gezeigt: -

Antworten:

Dies ist jenseits der High-School-Algebra und der beste Weg, es zu lösen, ist, Wolfram Alpha zu fragen, wer antwortet #x ca.94 #.

Erläuterung:

Lösen

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Fragen wie diese sind im Allgemeinen schwer und die Antwort hängt davon ab, ob Sie in der High School in Algebra sind oder sich mit Mathematik befassen.

Für die High School ist es am besten, einige kleine Zahlen auszuprobieren und zu sehen, ob sie funktionieren. (Dies funktioniert für viele, viele Mathematikprobleme an der High School, ua). Es gibt wirklich nur einen rationalen Grund # x # das macht # e ^ x # rational, # x = 0 #, das ist keine Lösung. Also wird das Erraten hier nicht funktionieren.

Wenn eine Annäherung gut genug ist, können wir sie grafisch darstellen # 2e ^ x # und # 7-2x # und sehen, wo sie sich treffen.

Was auch immer Ihr Niveau ist, wenn Sie sich einem solchen harten Niveau stellen, ist es normalerweise ein guter Schritt, den verfügbaren Experten nach Wolfram Alpha zu fragen.

Wir sehen, dass Alpha uns eine ungefähre Antwort nahe bei 1 gab, und sogar eine Formel mit W (x), die das Lambert Product Log ist, das normalerweise nicht Teil der Mathematik der High School ist.

Es gibt keine Antwort mit regulären Funktionen und Operationen, die wir in der Algebra der High School kennen. Das trifft im Allgemeinen zu, wenn wir einen Begriff mit hinzufügen # x # in einem Exponenten zu einem wo # x # erscheint als lineare oder höhere Leistung.

Das ist das Ende der Antwort für die meisten Schüler. Aber wir können tiefer gehen. Das Produktprotokoll ist eine interessante Funktion.Betrachten Sie die Gleichung

#k = xe ^ x #

Auf der rechten Seite ist eine zunehmende Funktion von # x #so wird es sich kreuzen # k # früher oder später. Das Protokoll zu bekommen bringt uns nicht wirklich weiter: #ln k = ln x + x #.

Wir brauchen so etwas wie ein Protokoll, aber nicht eines, das umgekehrt ist # e ^ x #. Es muss die Umkehrung von sein # xe ^ x #. Das ist das Produktprotokoll oder die Lambert-W-Funktion, definiert als:

#k = xe ^ x # hat echte Lösung #x = W (k) #.

Wir beschränken uns auf die Realität. Es macht Spaß zu entdecken # W '#s Eigenschaften. Das grundlegende, das wir erhalten haben, ist

#W (xe ^ x) = x #

Lass uns gehen lassen # x = ye ^ y # im folgenden so #W (x) = y #. Jetzt

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Das ist cool. Wie wäre es mit

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Protokolle aufnehmen, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # vorausgesetzt, Protokolle sind definiert

Wenn Sie nun sehen, wie es ist, mit W zu arbeiten, können Sie damit die Gleichung lösen oder die Lösung von Alpha überprüfen

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #