Was ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Die charakteristische Gleichung lautet:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "ODER" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "Scheibe des Quaders. Gleichung = 1 - 16 = -15 <0" #

# "so haben wir zwei komplexe lösungen, sie sind" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet also:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Die besondere Lösung für die vollständige Gleichung ist" #

# "y = x" #

# "Das ist leicht zu sehen." #

# "Die vollständige Lösung lautet also:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Antworten:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (Quadrat (15) / 2x) + Csin (Quadrat (15) / 2x)} + x #

Erläuterung:

Wir haben:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Oder alternativ:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. EIN

Das ist ein dritte lineare nichthomogene Differenzierungsgleichung mit konstanten Koeffizienten. Der Standardansatz besteht darin, eine Lösung zu finden, # y_c # der homogenen Gleichung durch Betrachten der Hilfsgleichung, die die Polynomgleichung mit den Koeffizienten der Ableitungen ist, und dann Finden einer unabhängigen bestimmten Lösung, # y_p # der nicht homogenen Gleichung.

Die Wurzeln der Hilfsgleichung bestimmen Teile der Lösung, die, wenn sie linear unabhängig sind, die Gesamtlösung der Lösung bilden.

• Wirklich unterschiedliche Wurzeln # m = Alpha, Beta, … # führt zu linear unabhängigen Lösungen der Form # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Wirklich wiederholte Wurzeln # m = alpha #, wird eine Lösung der Form ergeben # y = (Ax + B) e ^ (Alphax) # wo das Polynom den gleichen Grad hat wie die Wiederholung.
• Komplexe Wurzeln (die als konjugierte Paare auftreten müssen) # m = p + -qi # ergibt ein Paar linear unabhängiger Lösungen der Form # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Besondere Lösung

Um eine bestimmte Lösung der nicht homogenen Gleichung zu finden:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # mit #f (x) = 4 # ….. C

Dann als #f (x) # ist ein Polynom von Grad #0#würden wir nach einer Polynomlösung des gleichen Grades suchen, d. h. der Form #y = a #

Eine solche Lösung ist jedoch bereits in der CF-Lösung vorhanden und muss daher eine mögliche Lösung des Formulars berücksichtigen # y = Axt #Wo die Konstanten #ein# ist durch direkte Substitution und Vergleich zu bestimmen:

Unterscheidung # y = Axt # wrt # x # wir bekommen:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Durch Einsetzen dieser Ergebnisse in die DE A erhalten wir:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Und so bilden wir die besondere Lösung:

# y_p = x #

Allgemeine lösung

Was dann zur GS von A} führt

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Beachten Sie diese Lösung #3# Konstanten der Integration und #3# linear unabhängige Lösungen, daher sind sie nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz die allgemeine Lösung