In welchen Intervallen ist die folgende Gleichung konkav, konkav nach unten und wo ist der Wendepunkt (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Antworten:

• ob # 0 <x <e ^ (- 15/56) # dann # f # ist nach unten konkav;
• ob #x> e ^ (- 15/56) # dann # f # ist konkav auf;
• # x = e ^ (- 15/56) # ist ein (fallender) Wendepunkt

Erläuterung:

Zur Analyse der Konkavität und der Wendepunkte einer doppelt differenzierbaren Funktion # f #können wir die Positivität der zweiten Ableitung untersuchen. Wenn ja # x_0 # ist ein Punkt in der Domäne von # f #, dann:

• ob #f '' (x_0)> 0 #, dann # f # ist konkav auf in einer Nachbarschaft von # x_0 #;
• ob #f '' (x_0) <0 #, dann # f # ist nach unten konkav in einer Nachbarschaft von # x_0 #;
• ob #f '' (x_0) = 0 # und das Zeichen von #f '' # auf einer ausreichend kleinen rechten Nachbarschaft von # x_0 # ist dem Zeichen von entgegengesetzt #f '' # auf einer ausreichend kleinen linken Nachbarschaft von # x_0 #, dann # x = x_0 # heißt ein Wendepunkt von # f #.

Im speziellen Fall von #f (x) = x ^ 8 ln (x) #haben wir eine Funktion, deren Domäne auf die positiven Realen beschränkt sein muss #RR ^ + #.

Die erste Ableitung ist

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) + 1 #

Die zweite Ableitung ist

#f '' (x) = 7x ^ 6 8In (x) + 1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Studieren wir die Positivität von #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

In Anbetracht dessen, dass die Domain ist #RR ^ + #wir bekommen das

• ob # 0 <x <e ^ (- 15/56) # dann #f '' (x) <0 # und # f # ist nach unten konkav;
• ob #x> e ^ (- 15/56) # dann #f '' (x)> 0 # und # f # ist konkav auf;
• ob # x = e ^ (- 15/56) # dann #f '' (x) = 0 #. Betrachten wir das links von diesem Punkt #f '' # ist negativ und rechts ist es positiv, schließen wir das # x = e ^ (- 15/56) # ist ein (fallender) Wendepunkt