Warum ist die Quadratwurzel von 5 eine irrationale Zahl?

Antworten:

Siehe Erklärung …

Erläuterung:

Hier ist eine Skizze eines Beweises durch Widerspruch:

Annehmen #sqrt (5) = p / q # für einige positive ganze Zahlen # p # und # q #.

Ohne den Verlust der Allgemeinheit können wir das vermuten #p, q # sind die kleinsten derartigen Zahlen.

Dann per Definition:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multipliziere beide Enden mit # q ^ 2 # bekommen:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

So # p ^ 2 # ist teilbar durch #5#.

Dann seit #5# ist prime # p # muss teilbar sein durch #5# auch.

So #p = 5m # für eine positive ganze Zahl # m #.

Also haben wir:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Teilen Sie beide Enden durch #5# bekommen:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Teilen Sie beide Enden durch # m ^ 2 # bekommen:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

So #sqrt (5) = q / m #

Jetzt #p> q> m #, so #q, m # ist ein kleineres Paar von Ganzzahlen, deren Quotient ist #sqrt (5) #, widerspricht unserer Hypothese.

Also unsere Hypothese #sqrt (5) # kann durch dargestellt werden # p / q # für einige ganze Zahlen # p # und # q # ist falsch. Das ist, #sqrt (5) # ist nicht rational. Das ist, #sqrt (5) # ist irrational.

Was ist eine reelle Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine rationale Zahl und eine irrationale Zahl?

Erklärung unten Rational Zahlen gibt es in drei verschiedenen Formen. ganze Zahlen, Brüche und terminierende oder wiederkehrende Dezimalzahlen wie 1/3. Irrationale Zahlen sind ziemlich "unordentlich". Sie können nicht als Brüche geschrieben werden, sie sind niemals endende Dezimalzahlen. Ein Beispiel dafür ist der Wert von π. Eine ganze Zahl kann als ganze Zahl bezeichnet werden und ist entweder eine positive oder negative Zahl oder Null. Ein Beispiel hierfür ist 0, 1 und -365.

Ist sqrt21 eine reelle Zahl, eine rationale Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine irrationale Zahl?

Es ist eine irrationale Zahl und daher real. Lassen Sie uns zuerst beweisen, dass sqrt (21) eine reelle Zahl ist, tatsächlich ist die Quadratwurzel aller positiven reellen Zahlen reell. Wenn x eine reelle Zahl ist, definieren wir für die positiven Zahlen sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Das bedeutet, dass wir alle reellen Zahlen y so betrachten, dass y ^ 2 <= x ist, und die kleinste reelle Zahl nehmen, die größer als alle y ist, das sogenannte Supremum. Bei negativen Zahlen gibt es diese y nicht, da bei allen reellen Zahlen das Quadrat dieser Zahl eine positive Zahl ergibt und alle

Was ist die Quadratwurzel von 7 + Quadratwurzel von 7 ^ 2 + Quadratwurzel von 7 ^ 3 + Quadratwurzel von 7 ^ 4 + Quadratwurzel von 7 ^ 5?

Sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) Als erstes können wir die Wurzeln von denen mit den geraden Potenzen löschen. Da: sqrt (x ^ 2) = x und sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 für eine beliebige Zahl, können wir einfach sagen, dass sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) Nun kann 7 ^ 3 als 7 ^ 2 * 7 umgeschrieben werden. und das 7 ^ 2 kann aus der Wurzel gehen! Dasselbe gilt für 7 ^ 5, aber es wird als 7 ^ 4 * 7 sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt umgeschrieben (7)