Wie konvertiert man r = 1 / (4 - Costheta) in eine kartesische Form?

Antworten:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Erläuterung:

Hey, Sokratisch: Ist es wirklich notwendig zu sagen, dass das vor 9 Minuten gefragt wurde? Ich mag es nicht, belogen zu werden. Sagen Sie uns, dass es vor zwei Jahren gefragt wurde und noch niemand dazu in der Lage war. Was ist auch mit den verdächtig identisch formulierten Fragen aus verschiedenen Orten? Ganz zu schweigen von Santa Cruz, USA? Es gibt fast sicher mehr als eine, obwohl ich die in Kalifornien schön höre. Glaubwürdigkeit und Reputation sind besonders in Hausaufgabengebieten wichtig. Leute nicht irreführen. Schlusslaut.

Bei der Umwandlung von Gleichungen von polaren in rechtwinklige Koordinaten wird die rohe Kraft rechteckig in polare Substitution umgewandelt

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = Text {arctan2} (y "/," x) Quad #

ist selten der beste Ansatz. (Ich zeige hier absichtlich die inverse Tangente des Vierquadranten, aber lassen Sie uns nicht umleiten.)

Idealerweise möchten wir die polaren zu rechteckigen Substitutionen verwenden, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK, schauen wir uns die Frage an.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Diese Polargleichungen erlauben im Allgemeinen negative # r #, aber hier sind wir uns sicher # r # ist immer positiv.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Ich denke, dass dies Ellipsen sind, die eigentlich keine Rolle spielen, aber sie geben uns eine Vorstellung davon, wie wir hoffen, dass die rechteckige Form so aussieht. Wir wollen etwas ohne Quadratwurzeln oder Arkustangenten anstreben # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # hat Quadratwurzeln, aber #rcos theta = x # nicht, also erweitern wir.

# 4r - rcos theta = 1 #

Jetzt ersetzen wir nur; Wir machen es in Schritten.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Lassen Sie uns jetzt Platz haben. Wir wissen #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Dies ist eine ziemlich kreisförmig aussehende Ellipse. (Eine kleinere Konstante als #4# im Original würde dies eine exzentrischere Ellipse ergeben.) Wir könnten das Quadrat komplettieren, um es in Standardform zu bringen, aber lassen wir es hier.