Was ist ein Eigenvektor? + Beispiel

Antworten:

Wenn vektor # v # und lineare Transformation eines Vektorraums #EIN# sind so #A (v) = k * v # (wo konstant # k # wird genannt Eigenwert), # v # heißt ein Eigenvektor der linearen Transformation #EIN#.

Erläuterung:

Stellen Sie sich eine lineare Transformation vor #EIN# das Dehnen aller Vektoren um einen Faktor von #2# im dreidimensionalen Raum. Beliebiger Vektor # v # würde in umgewandelt werden # 2v #. Daher sind für diese Transformation alle Vektoren Eigenvektoren mit Eigenwert von #2#.

Betrachten Sie eine Drehung eines dreidimensionalen Raums um die Z-Achse um einen Winkel von # 90 ^ o #. Offensichtlich ändern alle Vektoren mit Ausnahme derjenigen entlang der Z-Achse die Richtung und können daher nicht sein Eigenvektoren. Diese Vektoren entlang der Z-Achse (ihre Koordinaten haben die Form) # 0,0, z #) behält ihre Richtung und Länge bei, also sind sie Eigenvektoren mit Eigenwert von #1#.

Betrachten Sie schließlich eine Rotation von # 180 ^ o # in einem dreidimensionalen Raum um die Z-Achse. Wie zuvor ändern sich alle Vektoren mit langer Z-Achse nicht Eigenvektoren mit Eigenwert von #1#.

Außerdem haben alle Vektoren in der XY-Ebene (ihre Koordinaten sind die Form) # x, y, 0 #) ändert die Richtung in entgegengesetzte Richtung, wobei die Länge beibehalten wird. Deshalb sind sie auch Eigenvektoren mit Eigenwerte von #-1#.

Jede lineare Transformation eines Vektorraums kann als Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix ausgedrückt werden. Zum Beispiel wird das erste Beispiel des Streckens als Multiplikation mit einer Matrix beschrieben #EIN#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Eine solche Matrix, multipliziert mit einem beliebigen Vektor # v = {x, y, z} # wird herstellen # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Dies ist offensichtlich gleich # 2 * v #. Also haben wir

# A * v = 2 * v #, was beweist, dass jeder Vektor # v # ist ein Eigenvektor mit einem Eigenwert #2#.

Das zweite Beispiel (Drehung um # 90 ^ o # um die Z-Achse) kann als Multiplikation mit einer Matrix bezeichnet werden #EIN#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Eine solche Matrix, multipliziert mit einem beliebigen Vektor # v = {x, y, z} # wird herstellen # A * v = {- y, x, z} #, die die gleiche Richtung wie der Originalvektor haben kann # v = {x, y, z} # nur wenn # x = y = 0 #Dies ist der Fall, wenn der Originalvektor entlang der Z-Achse gerichtet ist.