Was ist die Domäne und der Bereich von f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Was ist die Domäne und der Bereich von f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?
Anonim

Antworten:

Domain: die ganze reale Linie

Angebot: #-0.0757,0.826#

Erläuterung:

Diese Frage kann auf zwei Arten interpretiert werden. Entweder erwarten wir uns nur mit der realen Linie # RR #oder auch mit dem Rest der komplexen Ebene # CC #. Die Verwendung von # x # Eine Variable impliziert, dass wir uns nur mit der reellen Linie beschäftigen, aber es gibt einen interessanten Unterschied zwischen den beiden Fällen, die ich anmerken möchte.

Die Domäne von # f # ist die Gesamtheit der numerischen Menge abzüglich aller Punkte, die dazu führen, dass die Funktion auf unendlich geht. Das passiert beim Nenner # x ^ 2 + 4 = 0 #d.h. wann # x ^ 2 = -4 #. Diese Gleichung hat keine echten Lösungen. Wenn wir also an der realen Linie arbeiten, ist die Domäne das gesamte Intervall # (- oo, + oo) #. Wenn wir die unendlichen Grenzen der Funktion betrachten, indem wir führende Ausdrücke in Zähler und Nenner vergleichen, sehen wir, dass sie bei beiden Unendlichkeiten gegen Null tendiert. Wenn wir möchten, können wir sie zu diesem Intervall hinzufügen, um sie abzuschließen: # - oo, + oo #.

Die gleichung # x ^ 2 = -4 # hat jedoch zwei komplexe Lösungen, #x = + - 2i #. Wenn wir die gesamte komplexe Ebene betrachten, ist die Domäne die gesamte Ebene ohne diese beiden Punkte: # CC # # {+ - 2i} #. Wie bei den Realen können wir unendlich viel hinzufügen, wenn wir möchten.

Um den Bereich von zu bestimmen # f # Wir müssen die maximalen und minimalen Werte über die Domäne ermitteln. Wir werden jetzt nur über die Realitäten sprechen, da die Bestimmung eines Analogons zu diesen über die komplexe Ebene im Allgemeinen eine andere Art von Problem darstellt, das verschiedene mathematische Werkzeuge erfordert.

Nehmen Sie die erste Ableitung über die Quotientenregel:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 +) 4) ^ 2 #

Die Funktion # f # erreicht entweder ein Extremum oder einen Wendepunkt, wenn #f '(x) = 0 #d.h. wann # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Wir lösen das mit der quadratischen Formel:

# x = -1 / 2 (6 + - Quadrat (52)) = - 3 + - Quadrat (13) #. Die Funktion hat also zwei solche Punkte.

Wir charakterisieren diese Punkte, indem wir ihre Werte bei der zweiten Ableitung von untersuchen # f #, die wir wiederum über die Quotientenregel nehmen:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2) +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Aus unserer ersten abgeleiteten Wurzelberechnung wissen wir, dass der zweite Term im Zähler für diese beiden Punkte Null ist, da die Einstellung auf Null die Gleichung ist, die wir gerade gelöst haben, um die Eingangszahlen zu finden.

Also das merken # (-3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + - Quadrat (13)) = (- 2 (-3 + - Quadrat (13) +3) (22bar (+) 6 Quadrat (13) +4)) / (22bar (+) 6 Quadrat) (13) +4) ^ 3 #

# = (bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Bei der Bestimmung des Vorzeichens dieses Ausdrucks fragen wir, ob # 26> 6sqrt (13) #. Zum Vergleich beide Seiten anordnen: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. So # 26-6sqrt (13) # ist positiv (und # 26 + 6sqrt (13) # umso mehr).

So kommt das Zeichen des ganzen Ausdrucks auf das #bar (+) # davor, was das bedeutet # x = -3-Quadrat (13) # hat #f '' (x)> 0 # (und ist daher ein Funktionsminimum) und # x = -3 + sqrt (13) # hat #f '' (x) <0 # (und ist daher ein Funktionsmaximum). Nachdem wir festgestellt haben, dass die Funktion im Unendlichen gegen Null geht, verstehen wir nun die Form der Funktion vollständig.

Um nun den Bereich zu erhalten, müssen wir die Werte der Funktion an den minimalen und maximalen Punkten berechnen # x = -3 + -sqrt (13) #

Erinnere dich daran #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, und so

#f (-3 + - Quadrat (13)) = (- 3 + - Quadrat (13) +3) / (22bar (+) 6 Quadrat (13) +4) = (+ - Quadrat (13)) / (26bar) (+) 6sqrt (13)) #.

Also über die reale Linie # RR # die Funktion #f (x) # nimmt Werte im Bereich # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, was, wenn wir numerisch auswerten, dazu kommt #-0.0757,0.826#auf drei signifikante Zahlen, erhalten bei # x # Werte #-6.61# und #0.606# (3 s.f.)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion als Überprüfung auf Fehlerfreiheit:

Graph {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0,2, 1}

Antworten:

Domain: #x in RR #

Angebot: #f (x) in -0.075693909, + 0.825693909 Farbe (weiß) ("xxx") # (CA)

Erläuterung:

Gegeben

#Farbe (weiß) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domain

Das Domain sind alle Werte von # x # für was #f (x) # ist definiert.

Für jede Funktion, die als Polynom ausgedrückt durch ein Polynom ausgedrückt wird, wird die Funktion für alle Werte von definiert # x # wobei das Divisor-Polynom nicht gleich Null ist. Schon seit # x ^ 2> = 0 # für alle Werte von # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # für alle Werte von # x #; das ist #x! = 0 # für alle Werte von # x #; Die Funktion ist für alle Real definiert (# RR #) Werte von # x #.

Angebot

Das Angebot ist etwas interessanter zu entwickeln.

Wenn eine stetige Funktion Grenzen hat, ist die Ableitung der Funktion an den Punkten, die diese Grenzen ergeben, gleich Null.

Obwohl einige dieser Schritte trivial sein können, werden wir diesen Prozess aus ziemlich grundlegenden Prinzipien für Derivate abarbeiten.

1 Exponentenregel für Derivate

Ob #f (x) = x ^ n # dann # (df (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Summenregel für Derivate

Ob #f (x) = r (x) + s (x) # dann # (df (x)) / (dx) = (dr (x)) / (dx) + (ds (x)) / (dx) #

3 Produktregel für Derivate

Ob #f (x) = g (x) * h (x) # dann # (df (x)) / (dx) = (dg (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (dh (x)) / (dx) #

4 Kettenregel für Derivate

Ob #f (x) = p (q (x)) # dann # (df (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (dq (x)) * (dq (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Für die gegebene Funktion #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Wir stellen fest, dass dies als geschrieben werden kann #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Durch 3 wissen wir

#Farbe (weiß) ("XXX") Farbe (rot) ((df (x)) / (dx)) = Farbe (Limette) ((d (x + 3)) / (dx)) * Farbe (blau) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + Farbe (blau) ((x + 3)) * Farbe (Magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Mit 1 haben wir

#Farbe (weiß) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

und durch 2

#Farbe (weiß) ("XXX") Farbe (Limette) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = Farbe (Limette) (1) #

Mit 4 haben wir

#Farbe (weiß) ("XXX") Farbe (Magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

und durch 1 und 2

#Farbe (weiß) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

oder vereinfacht:

#Farbe (weiß) ("XXXXXXXX") = Farbe (Magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

geben uns

#Farbe (weiß) ("XXX") Farbe (rot) ((df (x)) / (dx)) = Farbe (grün) 1 * Farbe (blau) ((x + 4) ^ (- 1))) + Farbe (blau) ((x + 3)) * Farbe (Magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

das kann vereinfacht werden als

#Farbe (weiß) ("XXX") Farbe (rot) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Wie gesagt (zurück) bedeutet dies, dass die Grenzwerte auftreten, wenn

#Farbe (weiß) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#Farbe (weiß) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

dann mit der quadratischen Formel (schau mal nach, Sokratisch beschwert sich bereits über die Länge dieser Antwort)

wann

#Farbe (weiß) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Anstatt die Agonie zu verlängern, fügen wir diese Werte einfach in unseren Rechner (oder in die Kalkulationstabelle, wie ich es tue) ein, um die Grenzen zu ermitteln:

#Farbe (weiß) ("XXX") f (-3-Quadratmeter (13)) ~~ -0.075693909 #

und

#color (weiß) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Antworten:

Eine einfachere Möglichkeit, den Bereich zu finden. Die Domain ist #x in RR #. Der Bereich ist #y in -0.076, 0.826 #

Erläuterung:

Die Domain ist #x in RR # wie

#AA x in RR #, der Nenner # x ^ 2 + 4> 0 #

Lassen # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Kreuz multiplizieren

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Dies ist eine quadratische Gleichung in # x #

Es gibt Lösungen für den Diskriminanten #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Deshalb, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Die Lösungen dieser Ungleichheit sind

# y in (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y in -0.076, 0.826 #

Graph {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}