Wie unterscheidet man y = ln (e ^ x + sqrt (1 + e ^ (2x)))?

Antworten:

# (dy) / (dx) = (e ^ x) / (sqrt (1 + e ^ (2x))) #

Erläuterung:

Verwenden Sie die Kettenregel.

#u (x) = e ^ x + (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) und y = ln (u) #

# (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (e ^ x + (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2)) #

# (du) / (dx) = e ^ x + d / (dx) ((1 + e ^ (2x)) ^ (1/2)) #

Für die Quadratwurzel verwenden Sie die Kettenregel erneut mit

#phi = (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) #

#v (x) = 1 + e ^ (2x) und phi = v ^ (1/2) #

# (dv) / (dx) = 2e ^ (2x) und (dphi) / (dv) = 1 / (2sqrt (v)) #

# (dphi) / (dx) = (dphi) / (dv) (dv) / (dx) = (e ^ (2x)) / (sqrt (1 + e ^ (2x))) #

#hervor (du) / (dx) = e ^ x + (e ^ (2x)) / (sqrt (1 + e ^ (2x))) #

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

# = 1 / (e ^ x + (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2)) * (e ^ x + (e ^ (2x)) / (sqrt (1 + e ^ (2x)))) #

# = e ^ x / (e ^ x + sqrt (1 + e ^ (2x))) + e ^ (2x) / (sqrt (1 + e ^ (2x)) (e ^ x + sqrt (1 + e ^ (2x))) #

Zusammenführen über LCD:

# = (e ^ xsqrt (1 + e ^ (2x)) + e ^ (2x)) / (sqrt (1 + e ^ (2x)) (e ^ x + sqrt (1 + e ^ (2x))) #

Faktor nehmen # e ^ x # außerhalb des Zählers:

# = (e ^ x (sqrt (1 + e ^ (2x)) + e ^ x)) / (sqrt (1 + e ^ (2x)) (e ^ x + sqrt (1 + e ^ (2x))) #

Kündigen und erhalten

# = (e ^ x) / (sqrt (1 + e ^ (2x))) #