Wie lautet die allgemeine Formel für die Diskriminante eines Polynoms vom Grad n?

Antworten:

Siehe Erklärung …

Erläuterung:

Die Diskriminante eines Polynoms #f (x) # von grad # n # kann als Determinante der Sylvester-Matrix von beschrieben werden #f (x) # und #f '(x) # wie folgt:

Gegeben:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Wir haben:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Die Sylvester-Matrix von #f (x) # und #f '(x) # ist ein # (2n-1) xx (2n-1) # Matrix, die unter Verwendung ihrer Koeffizienten gebildet wird, ähnlich dem folgenden Beispiel für # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Dann die Diskriminante #Delta# wird als Determinante der Sylvester-Matrix durch die Formel angegeben:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Zum # n = 2 # wir haben:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(was Sie in der Form besser erkennen können #Delta = b ^ 2-4ac #)

Zum # n = 3 # wir haben:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3), 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#Farbe (weiß) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Die Diskriminanten für Quadratics (# n = 2 #) und kubische (# n = 3 #) sind am nützlichsten, da sie genau sagen, wie viele reelle, wiederholte oder nicht reelle komplexe Nullen ein Polynom hat.

Die Interpretation der Diskriminante für Polynome höherer Ordnung ist eingeschränkter, hat jedoch immer die Eigenschaft, dass das Polynom Nullstellen nur dann hat, wenn die Diskriminante Null ist.

#Farbe weiß)()#

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