Bitte helfen Sie, das Problem zu lösen, ich kann keine Lösung finden. Die Frage ist, f zu finden? Gegebenes f: (0, + oo) -> RR mit f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x in (0, + oo)

Antworten:

#f (x) = lnx + 1 #

Erläuterung:

Wir teilen die Ungleichung in zwei Teile auf:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Schauen wir uns (1) an:

Wir ordnen um zu bekommen #f (x)> = lnx + 1 #

Schauen wir uns (2) an:

Wir nehmen an # y = x / e # und # x = ye #. Wir erfüllen immer noch die Bedingung #y in (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # so #f (y) = f (x) #.

Aus den 2 Ergebnissen #f (x) = lnx + 1 #

Antworten:

Nehmen Sie ein Formular an und verwenden Sie die Grenzen.

Erläuterung:

Aufgrund der Tatsache, dass wir sehen, dass f (x) ln (x) begrenzt, können wir annehmen, dass die Funktion eine Form von ln (x) ist. Nehmen wir eine allgemeine Form an:

#f (x) = Aln (x) + b #

Das Einstecken der Bedingungen bedeutet dies

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Wir können abziehen #Aln (x) + b # aus der ganzen Gleichung zu finden

# - Eine le (1-A) ln x - b le - 1 #

Spiegeln,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Wenn wir wollen, dass dies für alle x gilt, sehen wir, dass die obere Grenze eine Konstante und ist #ln (x) # ist unbegrenzt, dieser Ausdruck muss eindeutig 0 sein. Daher ist A = 1 und lässt uns mit

# 1 le b le 1 impliziert b = 1 #

Also haben wir nur die Lösung mit #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #