Mathematisches Induktionsproblem. ?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

#S_n = Summe_ (k = 0) ^ n (n-k) (k + 1) #

#S_n = 1 / 6n (n + 1) (n + 2) #

Zum # n = 1 #

# S_1 = 1 #

# 1/6 1 xx 2 xx 3 = 1 #

Angenommen, es ist wahr für # n # wir haben für # n + 1 #

#S_ (n + 1) = Summe_ (k = 0) ^ (n + 1) (n + 1-k) (k + 1) = #

# = Summe_ (k = 0) ^ n (n-k) (k + 1) + Summe_ (k = 0) ^ (n + 1) (k + 1) = #

# = 1 / 6n (n + 1) (n + 2) + ((n + 1) (n + 2)) / 2 = #

# = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) #

also ist die aussage wahr.

Antworten:

Bitte gehen Sie durch Die Erklärung.

Erläuterung:

Lass uns das beweisen Ergebnis ohne Verwendung der Induktion:

# "Die erforderliche Summe" sum_ (m = 1) ^ (m = n) (n-m + 1) m #, # = Summe {(n + 1) m-m ^ 2} #,

# = (n + 1) Summe_ (m = 1) ^ (m = n) m-Summe_ (m = 1) ^ (m = n) m ^ 2 #, # = (n + 1) {n / 2 (n + 1)} - n / 6 (n + 1) (2n + 1) #, # = n / 6 (n + 1) {3 (n + 1) - (2n + 1)} #, # = n / 6 (1 + 1) (n + 2) #.