Wie integrieren Sie das? dx (x²-x + 1) Ich bleibe bei diesem Teil hängen (Bild hochgeladen)

Antworten:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Erläuterung:

Weitermachen…

Lassen # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Mit einem Gegenmittel, was für das Gedächtnis festgelegt werden sollte …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Dies ist ein kompliziertes kleines Integral, und die Lösung erscheint zunächst nicht offensichtlich. Da dies ein Bruch ist, können wir die Verwendung der Teilfraktionstechnik in Betracht ziehen, aber eine schnelle Analyse zeigt, dass dies seitdem nicht möglich ist # x ^ 2-x + 1 # ist nicht faktorierbar.

Wir werden versuchen, dieses Integral in eine Form zu bringen, die wir tatsächlich integrieren können. Beachten Sie die Ähnlichkeit zwischen # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # und # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; Wir wissen, dass das letztere Integral zu bewertet wird # arctanx + C #. Wir werden also versuchen zu bekommen # x ^ 2-x + 1 # in der Form #k (x-a) ^ 2 + 1 #und dann die # arctanx # Regel.

Wir müssen das Quadrat weiter fertigstellen # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(sehr unordentlich, ich weiß)

Nun, da wir es in unserer gewünschten Form haben, können wir wie folgt vorgehen:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #