Lösen Sie die folgende Gleichung in natürlichen Zahlen: x² + y² = 1997 (x-y)?

Antworten:

# (x, y) = (170, 145) # oder # (x, y) = (1817, 145) #

Erläuterung:

Der folgende Beweis basiert auf dem Buch "Eine Einführung in diophantine Gleichungen: ein problemorientierter Ansatz" von Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Gegeben:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Lassen #a = (x + y) # und #b = (1997-x + y) #

Dann:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Daher finden wir:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Schon seit #1997# ist prime #ein# und # b # haben keinen gemeinsamen Faktor größer als #1#.

Daher gibt es positive ganze Zahlen #m, n # mit #m> n # und kein gemeinsamer Faktor größer als #1# so dass:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} Farbe (weiß) (XX) "oder" Farbe (weiß) (XX) ((1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2 - n ^ 2), (b = 2mn):} #

Anschauen # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # in mod #3# und mod #5# Arithmetik finden wir:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) daher #m - = + -1 # und #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) daher #m - = + -1 # und #n - = + -1 # (mod #5#)

Das bedeutet, dass die einzigen Möglichkeiten für #m, n # modulo #15# sind #1, 4, 11, 14#.

Beachten Sie außerdem, dass:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Daher:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31,6, 44,7) #

Also die einzigen Möglichkeiten für # m # sind #34, 41, 44#

Wir finden:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# kein perfekter Platz.

#1997 - 44^2 = 61# kein perfekter Platz.

So # (m, n) = (34, 29) #

So:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

oder

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#Farbe weiß)()#

Ob # (a, b) = (1972, 315) # dann:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

und daher:

# (x, y) = (1817, 145) #

#Farbe weiß)()#

Ob # (a, b) = (315, 1972) # dann:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

und daher:

# (x, y) = (170, 145) #