Wir haben einen Kreis mit einem eingeschriebenen Quadrat mit einem eingeschriebenen Kreis mit einem gleichseitigen eingeschriebenen Dreieck. Der Durchmesser des äußeren Kreises beträgt 8 Fuß. Das Material des Dreiecks kostete $ 104,95 pro Quadratfuß. Was kostet das dreieckige Zentrum?

Wir haben einen Kreis mit einem eingeschriebenen Quadrat mit einem eingeschriebenen Kreis mit einem gleichseitigen eingeschriebenen Dreieck. Der Durchmesser des äußeren Kreises beträgt 8 Fuß. Das Material des Dreiecks kostete $ 104,95 pro Quadratfuß. Was kostet das dreieckige Zentrum?
Anonim

Antworten:

Die Kosten für ein dreieckiges Zentrum betragen 1090,67 $

Erläuterung:

#AC = 8 # als gegebener Durchmesser eines Kreises.

Daher aus dem Satz des Pythagoras für das rechte gleichschenklige Dreieck #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Dann seit #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Offensichtlich Dreieck #Delta GHI # ist gleichseitig.

Punkt # E # ist ein Zentrum eines Kreises, der umschreibt #Delta GHI # und als solches ist es ein Schnittpunkt von Mittellinien, Höhen und Winkelhalbierenden dieses Dreiecks.

Es ist bekannt, dass ein Schnittpunkt der Mediane diese Mediane im Verhältnis 2: 1 teilt (zum Beweis siehe Unizor und folgen Sie den Links.) Geometrie - Parallele Linien - Minisätze 2 - Teorem 8)

Deshalb, # GE # ist #2/3# des gesamten Medianwerts (und der Höhen- und Winkelhalbierenden) des Dreiecks #Delta GHI #.

Wir kennen also die Höhe # h # von #Delta GHI #ist es gleich #3/2# multipliziert mit der Länge von # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Wissen # h #können wir die Länge der Seite berechnen #ein# von #Delta GHI # mit dem Satz des Pythagoras:

# (a / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

woraus folgt:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# a = (2h) / sqrt (3) #

Jetzt können wir rechnen #ein#:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

Die Fläche eines Dreiecks ist daher

#S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

Bei einem Preis von 104,95 $ pro Quadratfuß beträgt der Preis eines Dreiecks

#P = 104,95 * 6sqrt (3) ~~ 1090.67 #