Antworten:
Der Rest der Teilung #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # durch # (x-k) # ist #f (k) #so lösen #f (k) = 9 # Verwenden des rationalen Wurzelsatzes und des Factorings, um Folgendes zu finden:
#k = 1/2, -2 # oder #-3#
Erläuterung:
Wenn Sie versuchen, sich zu teilen #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # durch # x-k # Sie enden mit einem Rest von #f (k) #…
Also wenn der Rest ist #9#Wir versuchen im Grunde zu lösen #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Subtrahieren #9# von beiden Seiten zu bekommen:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Nach dem rationalen Wurzelsatz haben alle rationalen Wurzeln dieses Cubic die Form # p / q # in den untersten Bedingungen, wo #p, q in ZZ #, #q! = 0 #, # p # ein Teiler der konstanten Laufzeit #-6# und # q # ein Teiler des Koeffizienten #2# des führenden Begriffs.
Das bedeutet, dass die möglichen rationalen Wurzeln sind:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Lass uns den ersten probieren:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
so #k = 1/2 # ist eine Wurzel und # (2k-1) # ist ein Faktor.
Teilen durch # (2k-1) # finden:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Die möglichen Lösungen sind also:
#k = 1/2 #, #k = -2 # und #k = -3 #
