Was sind die möglichen rationalen Wurzeln x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Antworten:

Diese Quintette hat keine vernünftigen Wurzeln.

Erläuterung:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Nach dem rationalen Wurzelsatz etwaige Nullstellen von #f (x) # sind in der Form ausdrückbar # p / q # für ganze Zahlen #p, q # mit # p # ein Teiler der konstanten Laufzeit #-12# und # q # ein Teiler des Koeffizienten #1# des führenden Begriffs.

Das bedeutet, dass das nur möglich ist rational Nullen sind:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Beachten Sie, dass #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # hat alle negativen Koeffizienten. Daher #f (x) # hat keine negativen Nullen.

Also das einzig mögliche rational Nullen sind:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Auswerten #f (x) # Für jeden dieser Werte finden wir, dass keiner eine Null ist. So #f (x) # hat kein rational Nullen

Wie bei den meisten Quintas und Polynomen höheren Grades können die Nullen nicht ausgedrückt werden # n #Wurzeln oder Elementarfunktionen, einschließlich trigonometrischer Funktionen.

Sie können numerische Methoden wie Durand-Kerner verwenden, um Näherungen zu finden:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #