Frage # 059f6

Antworten:

#f (x) = Summe_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X-) 1) ^ (2k + 1) #

Erläuterung:

Die Taylor-Entwicklung einer Funktion # f # beim #ein# ist #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Denken Sie daran, dass es sich um eine Power-Serie handelt, die nicht unbedingt zu einer Konvergenz passt # f # oder sogar irgendwo anders als bei # x = a #.

Wir brauchen zuerst die Ableitungen von # f # wenn wir versuchen wollen, eine echte Formel aus seiner Taylor-Serie zu schreiben.

Nach Kalkül und Induktionsnachweis können wir das sagen #AAk in NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # und #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Nach einer groben und kleinen Vereinfachung scheint es, dass die Taylor-Reihe von # f # ist #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + summe_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k.) +1) #.