Was sind die Extrem- und Sattelpunkte von f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) im Intervall x, y in [-pi, pi]?

Antworten:

Erläuterung:

Wir haben:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# -6sinxsin ^ 2y #

Schritt 2 - Identifizieren Sie kritische Punkte

Ein kritischer Punkt tritt bei einer gleichzeitigen Lösung von auf

# f_x = f_y = 0 iff (partielles f) / (partielles x) = (partielles f) / (partielles y) = 0 #

wenn also:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # gleichzeitig

Betrachte Gleichung A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Dann haben wir zwei Lösungen:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Nun verwenden wir Eq B, um die entsprechende Koordinate zu finden:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x in RR # (Dachrinnen)

Das gibt uns folgende kritische Punkte:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritische Punkte)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritische Punkte)

# (alpha, 0) AA AA in RR # (Rinnenlinie)

# (Alpha, + -pi) AA Alpha in RR # (2 Rinnenlinien)

Betrachte Gleichung B

# -6sinxsin2y = 0 #

Dann haben wir zwei Lösungen:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Nun verwenden wir Eq A, um die entsprechende Koordinate @ zu finden.

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (Wiederholungen von oben)

# y = 0 => x in RR # (Wiederholung von oben)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (Wiederholungen von oben)

Das gibt uns keine zusätzlichen kritischen Punkte:

Schritt 3 - Klassifizieren Sie die kritischen Punkte

Um die kritischen Punkte zu klassifizieren, führen wir einen Test durch, der dem eines Variablenkalküls ähnlich ist, wobei die zweiten partiellen Ableitungen und die Hessische Matrix verwendet werden.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y)), ((partiell ^ 2f) / (partielles y partielles x), (partiell ^ 2f) / (teilweise y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Dann abhängig vom Wert von #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Es gibt Maximum, wenn" f_ (xx) <0), (, ") und ein Minimum, wenn" f_ (xx)> 0) ist, (Delta <0, "es gibt einen Sattelpunkt")), (Delta = 0, "Weitere Analyse erforderlich"):} #

Mit benutzerdefinierten Excel-Makros werden die Funktionswerte zusammen mit den partiellen Ableitungswerten wie folgt berechnet:

Hier ist eine Darstellung der Funktion

Und das Ploit mit den kritischen Punkten (und Dachrinnen)

Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Der Definitionsbereich von: f (x) = 2x ^ 2lnx ist das Intervall x in (0, + oo). Bewerten Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Die kritischen Punkte sind die Lösungen von: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 und als x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) In diesem Punkt: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, so dass der kritische Punkt ein lokales Minimum ist. Die Sattelpunkte sind die Lösungen von: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 und da

Was sind die Extrem- und Sattelpunkte von f (x, y) = 6 sin x sin y im Intervall x, y in [-pi, pi]?

X = pi / 2 und y = pi x = pi / 2 und y = -pi x = -pi / 2 und y = pi x = -pi / 2 und y = -pi x = pi und y = pi / 2 x = pi und y = -pi / 2 x = -pi und y = pi / 2 x = -pi und y = -pi / 2 Um die kritischen Punkte einer 2-Variablen-Funktion zu ermitteln, müssen Sie den Gradienten berechnen, welcher ist ein Vektor, der die Ableitungen in Bezug auf jede Variable enthält: (d / dxf (x, y), d / dyf (x, y)) Also haben wir d / dxf (x, y) = 6cos (x ) sin (y) und in ähnlicher Weise d / dyf (x, y) = 6sin (x) cos (y). Um die kritischen Punkte zu finden, muss der Gradient der Nullvektor (0,0) sein, d. H. Das Lösen des S

Was ist das absolute Extrem der Funktion: 2x / (x ^ 2 +1) bei geschlossenem Intervall [-2,2]?

Das absolute Extrem einer Funktion in einem geschlossenen Intervall [a, b] kann ein lokales Extrem in diesem Intervall sein oder die Punkte, deren Ascissae a oder b sind. Finden wir also die lokalen Extrema: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, wenn -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Unsere Funktion wird also in [-2, -1) und in (1,2) dekrementiert und wächst in (-1,1). Daher ist der Punkt A (-1-1) ein lokales Minimum und der Punkt B (1,1) ist ein lokales Maximum. Nun finden wir die Ordinate der Punkte an den Enden des I