Was sind die Extrem- und Sattelpunkte von f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) im Intervall x, y in [-pi, pi]?

Antworten:

Erläuterung:

Wir haben:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# -6sinxsin ^ 2y #

Schritt 2 - Identifizieren Sie kritische Punkte

Ein kritischer Punkt tritt bei einer gleichzeitigen Lösung von auf

# f_x = f_y = 0 iff (partielles f) / (partielles x) = (partielles f) / (partielles y) = 0 #

wenn also:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # gleichzeitig

Betrachte Gleichung A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Dann haben wir zwei Lösungen:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Nun verwenden wir Eq B, um die entsprechende Koordinate zu finden:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x in RR # (Dachrinnen)

Das gibt uns folgende kritische Punkte:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritische Punkte)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritische Punkte)

# (alpha, 0) AA AA in RR # (Rinnenlinie)

# (Alpha, + -pi) AA Alpha in RR # (2 Rinnenlinien)

Betrachte Gleichung B

# -6sinxsin2y = 0 #

Dann haben wir zwei Lösungen:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Nun verwenden wir Eq A, um die entsprechende Koordinate @ zu finden.

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (Wiederholungen von oben)

# y = 0 => x in RR # (Wiederholung von oben)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (Wiederholungen von oben)

Das gibt uns keine zusätzlichen kritischen Punkte:

Schritt 3 - Klassifizieren Sie die kritischen Punkte

Um die kritischen Punkte zu klassifizieren, führen wir einen Test durch, der dem eines Variablenkalküls ähnlich ist, wobei die zweiten partiellen Ableitungen und die Hessische Matrix verwendet werden.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y)), ((partiell ^ 2f) / (partielles y partielles x), (partiell ^ 2f) / (teilweise y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Dann abhängig vom Wert von #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Es gibt Maximum, wenn" f_ (xx) <0), (, ") und ein Minimum, wenn" f_ (xx)> 0) ist, (Delta <0, "es gibt einen Sattelpunkt")), (Delta = 0, "Weitere Analyse erforderlich"):} #

Mit benutzerdefinierten Excel-Makros werden die Funktionswerte zusammen mit den partiellen Ableitungswerten wie folgt berechnet:

Hier ist eine Darstellung der Funktion

Und das Ploit mit den kritischen Punkten (und Dachrinnen)