Antworten:
#sqrt (ax ^ 2 + bx + c) = sqrt a "" x + sqrt c #, so lange wie #ein# und # c # sind nicht negativ und #b = + - 2sqrt (ac). #
Erläuterung:
Ob # ax ^ 2 + bx + c # ist ein perfektes Quadrat, dann ist seine Quadratwurzel # px + q # für einige # p # und # q # (bezüglich #a, b, c #).
# ax ^ 2 + bx + c = (px + q) ^ 2 #
#color (weiß) (ax ^ 2 + bx + c) = p ^ 2 "" x ^ 2 + 2pq "" x + q ^ 2 #
Also wenn wir gegeben sind #ein#, # b #, und # c #, wir brauchen # p # und # q # damit
# p ^ 2 = a #, # 2pq = b #, und
# q ^ 2 = c #.
Somit,
#p = + - sqrt a #, #q = + - sqrt c #, und
# 2pq = b #.
Aber warte ab da # p = + -sqrta # und #q = + - sqrtc #Das muss es sein # 2pq # entspricht # + - 2sqrt (ac) # auch so # ax ^ 2 + bx + c # wird nur dann ein perfektes Quadrat sein #b = + - 2sqrt (ac). # (Auch um eine Quadratwurzel zu haben, #ein# und # c # müssen beide sein #ge 0 #.)
So,
#sqrt (ax ^ 2 + bx + c) = px + q #
#color (weiß) (sqrt (ax ^ 2 + bx + c)) = sqrt a "" x + sqrt c #,
ob
#a> = 0 #, #c> = 0 #, und
#b = + - 2sqrt (ac) #.
