Zeigen Sie, dass die Gleichung x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 genau eine Lösung auf [0, 1] hat?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Lassen Sie uns zunächst berechnen #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # an der Grenze unserer Domain:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Wenn wir die Ableitung berechnen

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Wir können sehen, dass es immer positiv ist #0,1#. Eigentlich, # x ^ 2 + 1 # ist immer positiv und # 4x # ist offensichtlich positiv da # x # ist positiv.

Unsere Funktion beginnt also unterhalb der # x # Achse, da #f (0) <0 #und endet oberhalb der # x # Achse, da #f (1)> 0 #. Die Funktion ist ein Polynom und somit stetig.

Wenn eine durchgehende Linie unterhalb der Achse beginnt und oben endet, bedeutet dies, dass sie irgendwo dazwischen gekreuzt sein muss. Die Tatsache, dass die Ableitung immer positiv ist, bedeutet, dass die Funktion immer größer wird und sie die Achse nicht zweimal kreuzen kann, daher der Beweis.