Frage # 9be0d

Antworten:

Diese Gleichung ist eine Annäherung an die relativistische Energie eines Teilchens für niedrige Geschwindigkeiten.

Erläuterung:

Ich gehe davon aus, dass etwas über die spezielle Relativitätstheorie bekannt ist, nämlich dass die Energie eines sich bewegenden Teilchens, die aus einem Inertialsystem betrachtet wird, durch gegeben ist # E = gammamc ^ 2 #, woher # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # der Lorentz-Faktor. Hier # v # ist die Geschwindigkeit des Teilchens, die ein Beobachter in einem Inertialsystem beobachtet.

Ein wichtiges Näherungswerkzeug für Physiker ist die Näherung der Taylor-Reihe. Das heißt, wir können eine Funktion approximieren #f (x) # durch #f (x) näherungsweise_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, der höhere # N #desto besser ist die Annäherung. In der Tat wird diese Annäherung für eine große Klasse glatter Funktionen genau # N # geht zu # oo #. Beachten Sie, dass #f ^ ((n)) # steht für die n-te Ableitung von # f #.

Wir nähern uns der Funktion #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # für kleine # x #beachten wir das wenn # x # ist klein, # x ^ 2 # wird noch kleiner sein, wir gehen also davon aus, dass wir Faktoren dieser Reihenfolge ignorieren können. Also haben wir #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (Diese besondere Näherung wird auch als Newton-Näherung bezeichnet). #f (0) = 0 # und #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, so #f '(0) = 1/2 #. Deshalb #f (x) ca.1 + 1 / 2x #.

Nun merken wir das # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Wenn ja # v # ist klein im Verhältnis zu # c #, wie es in alltäglichen Situationen sein wird, gilt die Annäherung, so # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Ersetzen Sie dies in die Gleichung für die Gesamtenergie eines Teilchens # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Dies gibt uns die kinetische Energie #E _ ("kin") = E-E_ "rest" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # für niedrige Geschwindigkeiten, was mit klassischen Theorien vereinbar ist. Für höhere Geschwindigkeiten ist es ratsam, mehr Ausdrücke aus der Taylor-Reihe zu verwenden, was schließlich zu so genannten relativistischen Korrekturen der kinetischen Energie führt.