Was ist -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) gleich?

Antworten:

Problem unlösbar

Erläuterung:

Es gibt keine Bögen, deren Kosinus gleich 2 und 3 ist.

Aus analytischer Sicht ist das # arccos # Funktion ist nur am definiert #-1,1# so #arccos (2) # & #arccos (3) # nicht existieren

Antworten:

Wirklich # cos # und #Sünde# Dies hat keine Lösungen, aber als Funktionen von komplexen Zahlen finden wir:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Erläuterung:

Als Real geschätzte Funktionen von Realwerten von # x #, die Funktionen #cos (x) # und #sin (x) # nimm nur Werte im Bereich #-1, 1#, so #arccos (2) # und #arccos (3) # sind undefiniert.

Es ist jedoch möglich, die Definition dieser Funktionen auf komplexe Funktionen zu erweitern #cos (z) # und #sin (z) # wie folgt:

Beginnen mit:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

Wir können ableiten:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Daher können wir definieren:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

für eine komplexe Nummer # z #.

Es ist möglich, mehrere Werte von zu finden # z # das befriedigen #cos (z) = 2 # oder #cos (z) = 3 #Es kann also eine Auswahl getroffen werden, um den Hauptwert zu definieren #arccos (2) # oder #arccos (3) #.

Um geeignete Kandidaten zu finden, lösen Sie # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, usw.

Beachten Sie jedoch, dass die Identität # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # gilt für eine beliebige komplexe Zahl # z #, so können wir folgern:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Ich hoffe, dass es möglich ist, den Hauptwert so zu definieren, dass #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # eher, als # -sqrt (3) i #.

Auf jeden Fall, #cos (arccos (3)) = 3 # per Definition.

Wenn wir das alles zusammenstellen, finden wir:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #