Was können Polynomidentitäten über Polynome hinausgehen?

Antworten:

Siehe die Erklärung für einige Beispiele …

Erläuterung:

Eine polynomische Identität, die in verschiedenen Bereichen häufig auftaucht, ist der Unterschied der Quadrate:

# a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #

Dem begegnen wir im Kontext der Rationalisierung von Nennern.

Betrachten Sie dieses Beispiel:

# 1 / (2 + sqrt (3)) #

# = (2 Quadratmeter (3)) / ((2 Quadratmeter (3)) (2 + Quadratmeter (3))) #

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + color (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) ((2) sqrt (3)))) - Farbe (rot) (aufheben (Farbe (schwarz)) (Quadrat (3) (2)))) - (Quadrat (3)) ^ 2) #

# = (2-Quadrat (3)) / (2 ^ 2- (Quadrat (3)) ^ 2) #

# = (2-sqrt (3)) / (4-3) #

# = 2-sqrt (3) #

Wenn wir den Unterschied der Quadrate erkennen, können wir den Schritt übersehen:

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + color (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) ((2) sqrt (3)))) - Farbe (rot) (aufheben (Farbe (schwarz)) (Quadrat (3) (2)))) - (Quadrat (3)) ^ 2) #

Oder betrachten Sie dieses Beispiel mit ein paar komplexen arithmetischen und trigonometrischen Funktionen:

# 1 / (cos theta + i sin theta) #

# = (cos theta - i sin theta) / ((cos theta - i sin theta) (cos theta + i sin theta)) #

# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta - i ^ 2 sin ^ 2 theta) #

# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) #

# = cos theta - ich sünde theta #

Ein Beispiel für die Verwendung in Calculus finden Sie unter

Am anderen Ende der Skala ist diese polynomische Identität manchmal für die mentale Arithmetik nützlich. Zum Beispiel:

#97 * 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991#