Verwenden Sie das Rational Zeros Theorem, um die möglichen Nullen der folgenden Polynomfunktion zu finden: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Antworten:

Das Mögliche rational Nullen sind:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Erläuterung:

Gegeben:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Durch den Satz der rationalen Nullen werden alle rationalen Nullstellen von #f (x) # sind in der Form ausdrückbar # p / q # für ganze Zahlen #p, q # mit # p # ein Teiler der konstanten Laufzeit #-35# und # q # ein Teiler des Koeffizienten #33# des führenden Begriffs.

Die Teiler von #-35# sind:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Die Teiler von #33# sind:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Die möglichen rationalen Nullen sind also:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

oder in aufsteigender Reihenfolge der Größe:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Beachten Sie, dass dies nur die rationalen Möglichkeiten sind. Der Satz der rationalen Nullen sagt uns nicht über mögliche irrationale oder komplexe Nullen aus.

Mit der Descartes-Vorzeichenregel können wir feststellen, dass diese Cubic keine negativen Nullen und hat #1# oder #3# positive reelle Nullen.

Die einzigen möglichen rationalen Nullen sind also:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Wenn wir nacheinander versuchen, finden wir:

#f (1/11) = 33 (Farbe (blau) (1/11)) ^ 3-245 (Farbe (blau) (1/11)) ^ 2 + 407 (Farbe (blau) (1/11)) -35 #

#Farbe (weiß) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#Farbe (weiß) (f (1/11)) = 0 #

So # x = 1/11 # ist eine Null und # 11x-1 # ein Faktor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Um das verbleibende Quadrat zu faktorisieren, können wir eine AC-Methode verwenden:

Finden Sie ein Paar Faktoren von #AC = 3 * 35 = 105 # mit der Summe # B = 22 #

Das Paar #15, 7# funktioniert.

Verwenden Sie dieses Paar, um den Mittelfristfaktor dann durch Gruppieren aufzuteilen:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#Farbe (weiß) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#Farbe (weiß) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Die anderen zwei Nullen sind also:

# x = 7/3 "" # und # "" x = 5 #