(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Lass es uns tun ???

Antworten:

#a = 1, b = 1 #

Erläuterung:

Den traditionellen Weg lösen

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Jetzt lösen für #ein#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # aber #ein# muss echt sein, so ist die Bedingung

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # oder # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

jetzt ersetzen und lösen für #ein#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # und die Lösung ist

#a = 1, b = 1 #

Ein anderer Weg, das gleiche zu tun

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

aber

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

und abschließend

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Antworten:

D. Es gibt genau ein Lösungspaar # (a, b) = (1, 1) #

Erläuterung:

Gegeben:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Beachten Sie, dass wir dies zu einem schönen symmetrischen homogenen Problem machen können, indem wir auf Folgendes verallgemeinern:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

dann eingestellt # c = 1 # Am Ende.

Um beide Seiten dieses allgemeinen Problems zu erweitern, haben wir:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Wenn Sie die linke Seite von beiden Seiten abziehen, erhalten Sie:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#Farbe (weiß) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#Farbe (weiß) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Für echte Werte von #ein#, # b # und # c #kann dies nur gelten, wenn alle # (a-b) #, # (b-c) # und # (c-a) # sind null und daher:

#a = b = c #

Dann setzen # c = 1 # Wir finden nämlich die einzige Lösung für das ursprüngliche Problem, nämlich # (a, b) = (1, 1) #