Wie findet man die Grenze von (ln x) ^ (1 / x), wenn x gegen unendlich geht?

Antworten:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Erläuterung:

Wir beginnen mit einem ganz gewöhnlichen Trick im Umgang mit variablen Exponenten. Wir können das natürliche Protokoll von etwas nehmen und es dann als Exponenten der Exponentialfunktion anheben, ohne seinen Wert zu ändern, da es sich um inverse Operationen handelt - aber es erlaubt uns, die Regeln von Protokollen auf vorteilhafte Weise zu verwenden.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Verwenden der Exponentenregel für Protokolle:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Beachten Sie, dass der Exponent als variiert # xrarroo # So können wir uns darauf konzentrieren und die Exponentialfunktion nach außen verschieben:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Wenn Sie sich das Verhalten der natürlichen Log-Funktion anschauen, werden Sie feststellen, dass der Wert der Funktion, wenn x zur Unendlichkeit neigt, auch zur Unendlichkeit neigt, wenn auch sehr langsam. Wenn wir nehmen #ln (ln (x)) # Wir haben eine Variable innerhalb der Log-Funktion, die sehr langsam zur Unendlichkeit neigt, was bedeutet, dass wir eine Gesamtfunktion haben, die unendlich langsam zur Unendlichkeit neigt. Die untenstehende Grafik reicht nur bis # x = 1000 # Aber es zeigt das extrem langsame Wachstum von #ln (ln (x)) # auch im Vergleich zum langsamen Wachstum von #ln (x) #.

Aus diesem Verhalten können wir das ableiten # x # wird ein viel schnelleres asymptotisches Wachstum zeigen und die Grenze des Exponenten wird daher Null sein. #color (blau) ("Dies bedeutet, dass das Gesamtlimit = 1 ist.") #

Wir können diesen Punkt auch mit der Regel von L'hopital angehen. Wir brauchen die Grenze in unbestimmter Form, dh # 0/0 oder oo / oo # Also prüfen wir, ob dies der Fall ist:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Dies ist in der Tat der Fall, so dass Limit zu:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x)))

Differenzieren #y = ln (ln (x)) # erkennen wir haben #y (u (x)) # und verwende die Kettenregel

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) impliziert (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) impliziert (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#vor (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Ableitung von # x # ist #1#. Limit wird zu:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Wir haben angesprochen, dass beide Funktionen auf dem Nenner zur Unendlichkeit neigen

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #