Wie finden Sie die Grenze von (arctan (x)) / (5x), wenn x gegen 0 geht?

Antworten:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Erläuterung:

Um dieses Limit zu finden, beachten Sie, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner zu gehen #0# wie # x # Ansätze #0#. Dies bedeutet, dass wir ein unbestimmtes Formular erhalten, sodass wir die Regel von L'Hospital anwenden können.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Wenn wir die L'Hospital-Regel anwenden, nehmen wir die Ableitung von Zähler und Nenner und geben uns damit

#lim_ (x -> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Wir können dies auch überprüfen, indem wir die Funktion grafisch darstellen, um eine Vorstellung davon zu bekommen # x # Ansätze.

Graph von #arctan x / (5x) #:

Graph {(Arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Antworten:

Ein längerer Ansatz unter Verwendung von Trig wird nachstehend erläutert.

Erläuterung:

Nur für den Fall, dass Sie mit der Regel von L'Hopital nicht vertraut sind oder noch nicht damit konfrontiert wurden, besteht ein anderer Ansatz zur Lösung des Problems darin, die Definition der Arkustangensfunktion zu verwenden.

Erinnere dich daran, wenn # tantheta = x #, dann # theta = arctanx #; Dies bedeutet im Wesentlichen, dass Arcustangens die Umkehrung von Tangens ist. Mit Hilfe dieser Informationen können wir ein Dreieck konstruieren # tantheta = x # und # theta = arctanx #:

Aus dem Diagramm ist das klar # tantheta = x / 1 = x #. Schon seit # tantheta = sintheta / costheta #können wir dies ausdrücken:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Mit diesem Plus die Tatsache, dass # theta = arctanx #, können wir im Limit ersetzen:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Das ist äquivalent zu:

#lim_ (theta> 0) 1/5 * lim_ (theta> 0) theta * lim_ (theta> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta> 0) theta / sintheta * lim_ (theta> 0) costheta #

Wir wissen das #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; so #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # oder #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Und seit # cos0 = 1 #wird der Grenzwert auf

# 1/5 * lim_ (theta> 0) theta / sintheta * lim_ (theta> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#

Wie finden Sie die Grenze von (sin (x)) / (5x), wenn x gegen 0 geht?

Die Grenze ist 1/5. Gegebenes lim_ (xto0) sinx / (5x) Wir wissen, dass die Farbe (blau) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1) Deshalb können wir unser gegebenes umschreiben als: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5

Wie finden Sie die Grenze von (1 / (h + 2) ^ 2 - 1/4) / h, wenn h gegen 0 geht?

Wir müssen zuerst den Ausdruck manipulieren, um ihn in eine bequemere Form zu bringen. Wir arbeiten mit dem Ausdruck (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h)) ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h-) 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Wenn wir nun Grenzen setzen, wenn h-> 0 ist, haben wir: lim_ (h-> 0 ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4

Wie finden Sie die Grenze von (sin ^ 2 (x ^ 2)) / (x ^ 4), wenn x gegen 0 geht?

1 Sei f (x) = (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4 impliziert f '(x) = lim_ (x bis 0) (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4 impliziert f '(x) = lim_ (x bis 0) (sin (x ^ 2) * sin (x ^ 2)) / x ^ 4 = lim_ (x bis 0) {sin (x ^ 2) / x ^ 2 * sin (x ^ 2) / x ^ 2} = lim_ (x bis 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2lim_ (x bis 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2 * = 1 * 1 = 1