Was sind die Asymptoten und Löcher (falls vorhanden) von f (x) = x / (x ^ 3-x)?

Antworten:

Löcher 0

Vertikale Asymptoten #+-1#

Horizontale Asymptoten 0

Erläuterung:

Eine vertikale Asymptote oder ein Loch wird durch einen Punkt erzeugt, in dem die Domäne gleich Null ist, d. H. # x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

Also entweder # x = 0 # oder # x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 2-1 = 0 # deshalb #x = + - 1 #

Eine horizontale Asymptote wird erstellt, bei der der obere und der untere Teil des Bruches nicht aufgehoben werden. Während eines Lochs kann man abbrechen.

So #Farbe (rot) x / (Farbe (rot) x (x ^ 2-1)) = 1 / (x ^ 2-1) #

So wie der # x # Durchgestrichen ist 0 nur ein Loch. Während wie # x ^ 2-1 # Überreste #+-1# sind Asymptoten

Bei horizontalen Asymptoten versucht man herauszufinden, was passiert, wenn x sich unendlich oder negativ unendlich nähert und ob es zu einem bestimmten y-Wert tendiert.

Um dies zu erreichen, teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch die höchste Potenz von # x # im Nenner

#limxtooo (x / (x ^ 3)) / (x ^ 3 / x ^ 3-x / x ^ 3) = limxtooo (1 / (x ^ 2)) / (1-1 / x ^ 2) = (1 / (oo ^ 2)) / (1-1 / oo ^ 2) = 0 / (1-0) = 0/1 = 0 #

Dazu müssen wir zwei Regeln kennen

# limxtooox ^ 2 = oo #

und

# limxtooo1 / x ^ n = 1 / oo = 0, wenn n> 0 #

Für die Grenzen der negativen infinty müssen wir alle machen # x # in # -x #

# limxtooo = -x / (- x ^ 3 + x) = (- x / (x ^ 3)) / (- x ^ 3 / x ^ 3 + x / x ^ 3) = limxtooo (-1 / (x ^ 2)) / (-1 + 1 / x ^ 2) = (-1 / (oo ^ 2)) / (-1 + 1 / oo ^ 2) = 0 / (-1 + 0) = 0 / - 1 = 0 #

So nähert sich die horizontale Asymptote, wenn x sich nähert # + - oo # ist 0