Sie hinterlegen $ 200 auf einem Sparkonto. Danach planen Sie, 15% mehr einzuzahlen als im Vorjahr. Über wie viel Geld haben Sie nach 20 Jahren insgesamt eingezahlt?

Antworten:

# $ color (weiß) (l) 20488.72 #

Erläuterung:

Beträgt die betreffende Person jedes Jahr

• # $ color (weiß) (l) 200 # in der ersten #1"# Jahr,
• # (1 + 15%) xx $ Farbe (weiß) (l) 200 # in dieser Sekunde # 2 "nd" # Jahr,
• # (1 + 15%) ^ 2 xx $ Farbe (weiß) (l) 200 # in der dritten # 3 "rd" # Jahr,
• #cdot cdot cdot #
• # (1 + 15%) ^ 19 xx $ Farbe (weiß) (l) 200 # im zwanzigsten # 20 "th" # Jahr,

eine geometrische Folge bilden.

Eine allgemeine Formel gibt die Summe der ersten an #n "th" # Ausdrücke einer geometrischen Folge eines gemeinsamen Verhältnisses # r # und erster Begriff # a_1 #

#sum_ (i = 1) ^ (n) r ^ (i-1) xx a_1 = a_1 xx (1-r ^ n) / (1-r) #

Die geometrische Reihenfolge in dieser Frage hat

#r = 1 + 15% = 1,15 #

als sein gemeinsames Verhältnis und

# a_1 = $ color (weiß) (l) 200 #

als erste Frist, die der Einzahlung im ersten Jahr entspricht.

Die Frage fragt nach der Summe der ersten zwanzigsten Terme dieser Sequenz, was impliziert # n = 20 #; Ersetzen # n #, # r #, und # a_1 # mit ihren jeweiligen Werten und Auswertung der Summation ergibt

#sum_ (i = 1) ^ (20) 1,15 ^ (i-1) xx $ Farbe (weiß) (l) 200 = $ Farbe (weiß) (l) 200 xx (1-1.15 ^ 20) / (1- 1.15) = $ color (white) (l) 20488.72 #

(auf die zwei Dezimalstellen gerundet)

Daher hätte die Person hinterlegt # $ color (weiß) (l) 20488.72 # Insgesamt in den zwanzig Jahren.