Was ist die Varianz der Standardnormalverteilung?

Was ist die Varianz der Standardnormalverteilung?
Anonim

Antworten:

Siehe unten. Die Standardnormal ist die Normaleinstellung so #mu, sigma = 0,1 # so kennen wir die ergebnisse vorher.

Erläuterung:

Das PDF für das Standardnormal lautet: #mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) #

Es hat Mittelwert:

# mu = int_ (- oo) ^ (oo) dz z mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz ze ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (- e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) _ (oo) ^ (- oo) = 0 #

Es folgt dem:

# Var (z) = int _ (- oo) ^ (oo) dz (z - mu) ^ 2 mathbb P (z) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz z ^ 2 e ^ (- z ^ 2/2) #

Verwenden Sie dieses Mal IBP:

# Var (z) = - 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (e ^ (- z ^ 2/2)) z #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2)) #

weil # z e ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) = 0 #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2) #

Dieses Integral ist allgemein bekannt. Dies kann mit einem Polar-Sub erfolgen, aber hier wird das Ergebnis angegeben.

# Var (z) = 1 / sqrt (2 pi) sqrt (2 pi) = 1 #